两根一起! 香蕉 Feynman 积分的通解与全自动处理程序

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/27303322654
• 发布日期: 2025-03-04
• 分类: 粒子物理 / QFT / 场论计算

本文也将以香蕉图为例, 所以下面谈到的圈图都是香蕉图.

之前简单介绍过两圈 Feynman 积分的计算流程:

https://www.zhihu.com/question/354601039/answer/27552625281上文的意义在于理解 Feynman 参数化这一技术与圈图计算的基本内容, 而在这个基础上我们就可以进一步地给出所有两圈 Feynman 积分的通解了··· 倒不是说要用到上文的什么结论, 而是如果你没至少玩过一次两根及以上的话, 那你只会觉得我下面是在纯纯搞抽象.

其实有了两圈的通解全自动程序后我们就可以很轻松地拓展到无穷圈了, 因为无非就是一圈圈地算呗, 所以为了循序渐进这里就以两圈程序的完整建立流程为例来展示其中的核心思想. 虽然大多数人一辈子都玩不了这么大但我还是要说到要算任意 $n$ 圈图或两位数指标的情况时, 你就会发现我们现在的这一套虽然能跑但效率实在低下. 而进一步的拓展将引入群论或抛弃老土的 Feynman 参数法, 比如微分方程法、色散关系迭代法之类的都明显要吊得多.

本文虽然计算思路和上文差不多但具体的计算细节处总会出现不同的地方, 这是因为你光看上文可能会有些地方会陷入类似于「为什么要这样处理」之类的疑惑, 而本文的计算就是要告诉你没有为什么, 我不这么处理一样能算.

本文有两大重点, 一个就是展示清楚什么叫任意图情形下的一圈一圈地算, 第二个重点就是教你如何套任意两圈香蕉图的通解公式. 说真的多圈图的通解就算我给你了你八成也搞不懂该怎么套, 所以如果不想学怎么造香蕉只想赶紧玩起来的确实可以直接跳过前面的那一大截计算过程.

框架是我从大佬那拾的, 但想起对方就近期就有篇相关的论文要出来, 所以具体内容最好先封几天.