管你长啥样儿，，要就只想导几下的话导就完了, 尤其场论吧你用不着解析式的时候就别瞎比嗯刚解析式了. 我这儿顺带还给 MMA 了下··· 噢开头还有些顺直时空里的鸡毛蒜皮，，

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/2014612843698356275
• 发布日期: 2026-03-20
• 分类: 粒子物理 / QFT / 场论计算

0. 一些关于顺直时空与 Lorentz 不变的鸡毛蒜皮

0.1. 按理说你必须得懂但我还是不默认你懂的一些顺直时空里的比比赖赖

很鸡零狗碎了, 前排列出来主要是为了规范一下后面及接下来可能会写的几篇内容的记号, 要觉得太弱智你也可以直接跳过. 但要连这个都搞不懂的话··· 那我也记不得该贴哪几篇了, 你就自己去搜下 Lorentz 群吧, 反正前排那个也是我写的, 然后里面还会有其它的链接.

啊··· 度规? 就是升降指标的呗:

• 比如你有 $X^{\mu }$ 就自然存在 $X_{\mu }\equiv g_{\mu \nu }{X}^{\nu }$, 或者 {Y}_{\mu }\Rightarrow {Y}^{\mu }\equiv {g}^{\mu \nu }{Y}_{\nu }.\
• 自己搞自己也行的, 即有 $X_{\mu }\equiv g_{\mu \nu }{X}^{\nu }=g_{\mu \nu }{g}^{\nu \rho }{X}_{\rho }=g_{\mu }^{\rho }{X}_{\rho }\Rightarrow g_{\mu }^{\rho }={\delta }_{\mu }^{\rho }.$
• 同理还有 {Y}^{\mu }\equiv {g}^{\mu \nu }{Y}_{\nu }={g}^{\mu \nu }{g}_{\nu \rho }{Y}^{\rho }={g}^{\mu }_{\rho }{Y}^{\rho }\Rightarrow {g}^{\mu }_{\rho }={\delta }^{\mu }_{\rho }.\
• 最后就是重复指标永远可以对调, 也就是说 $X^{\mu }{Y}_{\mu }=X_{\mu }{Y}^{\mu }$, 懂的都懂嗷.

这 Lorentz 群指的就是 Minkowski 空间的保度规线性变换群嘛, 定义是显然而直接的:

• \underbrace{\text{O}\left( 1,3 \right)\equiv \left\{ \left. \Lambda \ \right|\ \Lambda \in \text{GL}\left( 4,\mathbb{R} \right),{g}_{\mu \nu }{\Lambda }^{\mu }_{\rho }{\Lambda }^{\nu }_{\sigma }={g}_{\rho \sigma } \right\}_{\dim\text{O}\left( 1,3 \right)=6}.
• 其中的度规张量阵 $g=\text{diag}\left(1,-1,-1,-1\right)$ 作为矩阵显然有 {g}^{-1}={g}^{\text{T}=g.

重点关注之 ${\Lambda }_{\mu }^{\nu }$ 事个什么玩应, 它指标反得很呐··· 那不熟的话就先回到我们认识的物体上呗, 指标总能升降的嘛, 你看 ${\Lambda }_{\mu }^{\nu }\equiv g_{\mu \rho }{g}^{\nu \sigma }{\Lambda }_{\sigma }^{\rho }$ 是不是就顺眼多了? 然后所有性质都源于定义, 不过能搬出来的就一个保度规条件 $g_{\mu \nu }{\Lambda }_{\rho }^{\mu }{\Lambda }_{\sigma }^{\nu }=g_{\rho \sigma }$ 了吧? 那就从这儿下手:

• $g_{\rho \sigma }=g_{\mu \nu }{\Lambda }_{\rho }^{\mu }{\Lambda }_{\sigma }^{\nu }={\Lambda }_{\nu \rho }{\Lambda }_{\sigma }^{\nu }=g_{\rho \tau }{\Lambda }_{\nu }^{\tau }{\Lambda }_{\sigma }^{\nu }$
• $\Rightarrow g^{\mu \rho }{g}_{\rho \sigma }=g^{\mu \rho }{g}_{\rho \tau }{\Lambda }_{\nu }^{\tau }{\Lambda }_{\sigma }^{\nu }$
• $\Rightarrow {\delta }_{\sigma }^{\mu }=g_{\tau }^{\mu }{\Lambda }_{\nu }^{\tau }{\Lambda }_{\sigma }^{\nu }$
• $\Rightarrow {\delta }_{\sigma }^{\mu }={\Lambda }_{\nu }^{\mu }{\Lambda }_{\sigma }^{\nu }\Rightarrow {\Lambda }_{\nu }^{\mu }={\left({\Lambda }^{-1}\right)}_{\nu }^{\mu }$, 你看这带个 $-1$ 就挺逆的.

搞这么个玩应出来是为了简洁美观的逆变协变, 马上就要用到了. 如果还有什么值得提一嘴的那应该就是 Lorentz 变换前后度规都不会发生变化吧, 这就事所谓的保度规嘛.

咱最初都是从坐标引入的 4-vector, 所以 ${\partial }_{\mu }$ 这个光秃秃的符号就都默认是对坐标求导的了, 也就是说 {\partial }_{\mu }\equiv \frac{\partial }{\partial {x}^{\mu },\ {\partial }^{\mu }\equiv \frac{\partial }{\partial {x}_{\mu }, 要你也跟我一样追求这个等式两边上下指标平衡[1]的话, 你就会发现分母里的上标会因为分母在下面而变成下标, 然后下标就··· 下下得上了? 你也不用去想下下得上是个什么道理, 你只要知道这样规定正好可以满足指标平衡的要求就行了，，

好吧, 道理其实就是因为 \frac{\partial }{\partial {x}^{\mu } 它逆变嘛, 我好忍不住要再讲两句啊, 我太懂了你知道吗?

• 所谓的协变指的就是 $x^{\mu }\stackrel{\Lambda }{\to }{x}^{\prime \mu }={\Lambda }_{\nu }^{\mu }{x}^{\nu }$, 关键就在于 ${\Lambda }_{\nu }^{\mu }$ 这个很顺直的变换系数.
• 于是逆变说的就显然是 $x_{\mu }\stackrel{\Lambda }{\to }{x}_{\mu }^{\prime }={\Lambda }_{\mu }^{\nu }{x}_{\nu }$ 了呗, 因为它的变换系数 ${\Lambda }_{\mu }^{\nu }$ 逆得很.
• 为啥下标就逆变? 因为 {x}'^{\mu }={\Lambda }^{\mu }_{\nu }{x}^{\nu }\Rightarrow {g}_{\mu \rho }{x}'^{\mu }={g}_{\mu \rho }{\Lambda }^{\mu }^{\nu }{x}_{\nu }\Rightarrow {x}'_{\rho }={\Lambda }_{\rho }^{\nu }{x}_{\nu }.
• 对协变式乘个逆就有 ${\left({\Lambda }^{-1}\right)}_{\mu }^{\rho }{x}^{\prime \mu }={\left({\Lambda }^{-1}\right)}_{\mu }^{\rho }{\Lambda }_{\nu }^{\mu }{x}^{\nu }={\delta }_{\nu }^{\rho }{x}^{\nu }=x^{\rho }.$
• 两边再关于 $x^{\prime \nu }$ 求导就得到 \frac{\partial {x}^{\rho }{\partial {x}'^{\nu }={\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\rho }_{\mu }\frac{\partial {x}'^{\mu }{\partial {x}'^{\nu }={\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\rho }_{\mu }{\delta }^{\mu }_{\nu }={\Lambda }_{\nu }^{\rho }.
• 于是就很显然了, \frac{\partial }{\partial {x}^{\mu }\xrightarrow{\ \Lambda \ }\frac{\partial }{\partial {x}'^{\mu }=\frac{\partial {x}^{\nu }{\partial {x}'^{\mu }\frac{\partial }{\partial {x}^{\nu }={\Lambda }_{\mu }^{\nu }\frac{\partial }{\partial {x}^{\nu }.
• 这就说明 \frac{\partial }{\partial {x}^{\mu } 在 Lorentz 变换下事逆变的, 所以才给的下标 \frac{\partial }{\partial {x}^{\mu }\equiv {\partial }_{\mu }.
• 相应的 ${\partial }^{\mu }\equiv g^{\mu \nu }{\partial }_{\nu }\stackrel{\Lambda }{\to }{g}^{\mu \nu }{\partial }_{\nu }^{\prime }=g^{\mu \nu }{\Lambda }_{\nu }^{\rho }{\partial }_{\rho }={\Lambda }_{\rho }^{\mu }{\partial }^{\rho }$ 就很理所当然了吧?
• 但你总结起来不就是分母在下面所以是下标然后下下得上吗?

只要是 Lorentz 4-vector 自己关于自己求导就一定会得到度规, 以 Lorentz 坐标为例的话就类似于是 $\partial x=g$ 这种感觉:

• (0). 那最显然的肯定就是 {\partial }_{\nu }{x}^{\mu }\equiv \frac{\partial {x}^{\mu }{\partial {x}^{\nu }={\delta }^{\mu }_{\nu } 呗, 都独立分量嘛, 梦回大一了.
• (1). 但开局就说了 $g_{\nu }^{\mu }=g^{\mu \rho }{g}_{\rho \nu }={\delta }_{\nu }^{\mu }$ 所以有 ${\partial }_{\nu }{x}^{\mu }=g_{\nu }^{\mu }.$
• (2). {\partial }_{\nu }{x}_{\mu }\equiv \frac{\partial {x}_{\mu }{\partial {x}^{\nu }={g}_{\mu \rho }\frac{\partial {x}^{\rho }{\partial {x}^{\nu }={g}_{\mu \rho }{\delta }^{\rho }_{\nu }={g}_{\mu \nu }.
• (3). {\partial }^{\nu }{x}^{\mu }\equiv \frac{\partial {x}^{\mu }{\partial {x}_{\nu }={g}^{\mu \rho }\frac{\partial {x}_{\rho }{\partial {x}_{\nu }={g}^{\mu \rho }{\delta }_{\rho }^{\nu }={g}^{\mu \nu }.
• (4). {\partial }^{\nu }{x}_{\mu }\equiv \frac{\partial {x}_{\mu }{\partial {x}_{\nu }={\delta }_{\mu }^{\nu }={g}_{\mu }^{\nu }.

就这样吧, 实在不能再继续解释下去了. 唯一能说的就是上面的这些证明都跟 $x$ 的关系不大, 你换成 $p$ 或者随便什么类似的 Lorentz 4-vector 都差不多是能搞出这些结论的.

0.2. 关于 Lorentz 不变的内点儿鸡毛蒜皮

我说形如 \int{\frac{\text{d}^{4}p}{\left( 2\pi \right)}^{4}\ {\text{e}^{-\text{i}p\cdot x}\frac{1}{\left( {p}^{2}-{m}^{2}+\text{i}\varepsilon \right)}^{n} 的积分一定是 $x^2$ 的函数.

这是因为 {\text{d}^{4}p 是 Lorentz 不变的测度[2]:

• {\text{d}^{4}p\xrightarrow{\ \Lambda \ }{\text{d}^{4}{p}'=\frac{\partial \left( {p}'^{0},{p}'^{1},{p}'^{2},{p}'^{3} \right)}{\partial \left( {p}^{0},{p}^{1},{p}^{2},{p}^{3} \right)}{\text{d}^{4}p
• \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left| \frac{\partial {p}'^{\mu }{\partial {p}^{\nu }{e}_{\mu }\otimes {e}^{\nu } \right|{\text{d}^{4}p
• \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left| {\Lambda }^{\mu }_{\rho }\frac{\partial {p}^{\rho }{\partial {p}^{\nu }{e}_{\mu }\otimes {e}^{\nu } \right|{\text{d}^{4}p
• \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left| {\Lambda }^{\mu }_{\nu }{e}_{\mu }\otimes {e}^{\nu } \right|{\text{d}^{4}p=\left| \Lambda \right|{\text{d}^{4}p={\text{d}^{4}p.\

然后 $p\cdot x$ 的 Lorentz 不变性也是很显然的:

• $p\cdot x\stackrel{\Lambda }{\to }{p}^{\prime \mu }{x}_{\mu }^{\prime }={\Lambda }_{\nu }^{\mu }{\Lambda }_{\mu }^{\rho }{p}^{\nu }{x}_{\rho }$
• \,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={\Lambda }^{\mu }_{\nu }{\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\rho }_{\mu }{p}^{\nu }{x}_{\rho }={\delta }_{\nu }^{\rho }{p}^{\nu }{x}_{\rho }=p\cdot x.\

最后的 $p^2-m^2+\text{i}\epsilon$ 就更显然了, 把上面的 $x$ 换成 $p$ 就是了.

所以 \int{\frac{\text{d}^{4}p}{\left( 2\pi \right)}^{4}\ {\text{e}^{-\text{i}p\cdot x}\frac{1}{\left( {p}^{2}-{m}^{2}+\text{i}\varepsilon \right)}^{n} 这样儿的积分肯定整个儿都是 Lorentz 不变的, 这就是说要将其记为 $F\left(x,m,n\right)$ 的话就一定有 $F\left(x,m,n\right)=F\left(x^2,m,n\right)\equiv F\left(x^2\right).$

Fun fact: 常见的 \frac{\text{d}^{3}p}{2{E}_{\vec{p} 也事 Lorentz 不变的, 那这又是怎么会事呢?

其实这就只是 {\text{d}^{4}p 的一个在壳投影罢了, 对全空间积分的 {\text{d}^{4}p 如果 Lorentz 不变, 那么它的在壳子集就当然也是 Lorentz 不变的:

• 所谓在壳指的就是 $p$ 满足 $p^2=m^2$ 这个关系, 这意味着 {\left( {p}^{0} \right)}^{2}={\vec{p}^{2}+{m}^{2}\equiv E_{\vec{p}^{2}.
• 所以在壳约束就是 \delta \left( {p}^{2}-{m}^{2} \right)\theta \left( {p}^{0} \right)=\delta \left[ {\left( {p}^{0} \right)}^{2}-E_{\vec{p}^{2} \right]\theta \left( {E}_{\vec{p} \right).
• 显然这个约束本身也是 Lorentz 不变的, 因为 $\delta \left(p^2-m^2\right)$ 作为不变量的函数自然不变, 而参考系的变换[3]不会改变 {E}_{\vec{p} 的符号, 所以 \theta \left( {E}_{\vec{p} \right) 作为常值函数自然也是不变的.
• 对存在若干分立零点 $\left\{x_n\right\}$ 的连续实函数 $f(x)$ 会有 \delta \left[ f(x) \right]=\sum\limits_{n}{\frac{\delta \left( x-{x}_{n} \right)}{\left| {\left. \frac{\rm{d}{\rm{d}x}f(x) \right|}_{x={x}_{n} \right|}.
• 从 {\text{d}^{4}p 到 {\text{d}^{3}p 自然是要先积掉 $\text{d}{p}^0$ 嘛, 所以这个 $p^0$ 就是我们当下的积分变量.
• 用 $\delta$ 函数这个唯一需要专门去记的性质可得 \delta \left[ {\left( {p}^{0} \right)}^{2}-E_{\vec{p}^{2} \right]=\frac{\delta \left( {p}^{0}-{E}_{\vec{p} \right)+\delta \left( {p}^{0}+{E}_{\vec{p} \right)}{2{E}_{\vec{p}.\
• 然后 $\theta \left(p^0\right)$ 会帮我们挑出正能量, 就是说 \delta \left[ {\left( {p}^{0} \right)}^{2}-E_{\vec{p}^{2} \right]\theta \left( {p}^{0} \right)=\frac{\delta \left( {p}^{0}-{E}_{\vec{p} \right)}{2{E}_{\vec{p}.\
• 于是对任意一个 $p$ 的 Lorentz 标量函数 $F\left(p\right)$ 积分时套上约束就会有 {\text{d}^{4}p\to \frac{\text{d}^{3}p}{2{E}_{\vec{p}.

\int{\text{d}^{4}p}\ F\left( p \right)\to \int{\text{d}^{3}p\text{d}{p}^{0}\ F\left( {p}^{0},\vec{p} \right)\frac{\delta \left( {p}^{0}-{E}_{\vec{p} \right)}{2{E}_{\vec{p}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\int{\frac{\text{d}^{3}p}{2{E}_{\vec{p}\ F\left( {E}_{\vec{p},\vec{p} \right)\int{\text{d}{p}^{0}\delta \left( {p}^{0}-{E}_{\vec{p} \right)=\int{\frac{\text{d}^{3}p}{2{E}_{\vec{p}\ F\left( {\vec{p} \right).\

1. 管你这那的, 导就完了

1.1. 对 Lorentz 矢量平方的函数求导事很有规律的

前面我们证明了形如 \int{\frac{\text{d}^{4}p}{\left( 2\pi \right)}^{4}\ {\text{e}^{-\text{i}p\cdot x}\frac{1}{\left( {p}^{2}-{m}^{2}+\text{i}\varepsilon \right)}^{n} 的积分一定是 $x^2$ 的函数 $F\left(x^2\right)$··· 事实上场论中有大把大把这样儿的 Lorentz 不变函数, 就包括这个积分在内, 它们就算有解析式也都长得极其疯狂、狰狞且都还一定带有莫名其妙甚至是闻所未闻的一大帮勾肩搭背的特殊函数··· 就更别说绝大多数情况下都暂时还不存在明确的解析式了，，

但这些 $F\left(x^2\right)$ 本身又都相当常见, 因为所谓的物理学不就是些协变、逆变或不变的定律吗? 而其中就算是那些不变的, 只要微分算子 ${\partial }_{\mu }$ 跑来作妖就也会产生 Lorentz 指标.

你要也天天算这些乱七八糟的东西你就肯定也会发现其实很多时候我们的运算可能就只涉及对 Lorentz 指标结构的操作, 而这些带指标的因子又常常都是些很干净、可分离出来的结构. 这就是说哪怕你傻不啦叽地花个十年八年总结出了套什么特殊函数真给它解析了出来, 你最后能用得上的部分也占不了解析式信息量的一条毛, 因为它就只有某个系数参与了运算，，

这次的 {\partial }_{\mu }\int{\frac{\text{d}^{4}p}{\left( 2\pi \right)}^{4}\ {\text{e}^{-\text{i}p\cdot x}\frac{1}{p}^{2}-{m}^{2}+\text{i}\varepsilon } 就是这么个情况, 你可以对 $x$ 求导, 然后掉个 $p_{\mu }$ 下来··· 那再然后呢? 这个 $p$ 事积分变量呀, 给它积出来看看指标在哪儿? 你事在说这个吗[4]:

• \ \ \ \ {\partial }_{\mu }\int{\frac{\text{d}^{4}p}{\left( 2\pi \right)}^{4}\ {\text{e}^{-\text{i}p\cdot x}\frac{1}{p}^{2}-{m}^{2}+\text{i}\varepsilon }
• =\theta \left( {x}^{2} \right)\frac{m}^{2}{x}_{\mu }{16\pi \left( {x}^{2}-\text{i}\varepsilon \right)}\left[ H_{0}^{\left( 2 \right)}\left( m\sqrt{x}^{2}-\text{i}\varepsilon } \right)-H_{2}^{\left( 2 \right)}\left( m\sqrt{x}^{2}-\text{i}\varepsilon } \right) \right]
• \ \ \ -\theta \left( -{x}^{2} \right)\frac{\text{i}{m}^{2}{x}_{\mu }{8{\pi }^{2}\left( -{x}^{2}+\text{i}\varepsilon \right)}\left[ {K}_{0}\left( m\sqrt{-{x}^{2}+\text{i}\varepsilon } \right)+{K}_{2}\left( m\sqrt{-{x}^{2}+\text{i}\varepsilon } \right) \right]
• \ \ \ +\frac{\text{i}{x}_{\mu }{x}^{2}-\text{i}\varepsilon }\theta \left( {x}^{2} \right)\frac{\text{i}m}{8\pi \sqrt{x}^{2}-\text{i}\varepsilon }H_{1}^{\left( 2 \right)}\left( m\sqrt{x}^{2}-\text{i}\varepsilon } \right)
• \ \ \ +\frac{\text{i}{x}_{\mu }{x}^{2}-\text{i}\varepsilon }\theta \left( -{x}^{2} \right)\frac{m}{4{\pi }^{2}\sqrt{-{x}^{2}+\text{i}\varepsilon }{K}_{1}\left( m\sqrt{-{x}^{2}+\text{i}\varepsilon } \right).\

噢那这下可清楚了, 原来都在 $x_{\mu }$ 上呀~ 但这一切··· 值得吗?

我是说你难道跟那个 Hankel 函数 $H_n^{\left(2\right)}\left(x\right)$ 或 Bessel 函数 $K_n\left(x\right)$ 很熟吗? 就算你很熟吧, 但我们一般碰到的根本就不是这简简单单的 Feynman 传播子 \int{\frac{\text{d}^{4}p}{\left( 2\pi \right)}^{4}\ {\text{e}^{-\text{i}p\cdot x}\frac{1}{p}^{2}-{m}^{2}+\text{i}\varepsilon } 吧? 平时碰到的至少也都是 \int{\frac{\text{d}^{4}p}{\left( 2\pi \right)}^{4}\ {\text{e}^{-\text{i}p\cdot x}\frac{1}{\left( {p}^{2}-{m}^{2}+\text{i}\varepsilon \right)}^{n} 这种级别的呀, 那你再导个我看看呢?

答案是或许可以通过对质量 $m$ 求导来提高分母的幂次, 然后再··· 想想都心累, 我说其实我都不用算也知道对 \int{\frac{\text{d}^{4}p}{\left( 2\pi \right)}^{4}\ {\text{e}^{-\text{i}p\cdot x}\frac{1}{\left( {p}^{2}-{m}^{2}+\text{i}\varepsilon \right)}^{n}\equiv F\left( {x}^{2} \right) 一定有 ${\partial }_{\mu }F\left(x^2\right)=x_{\mu }\tilde{F}\left(x^2\right)$, 甚至一定有 {\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }F\left( {x}^{2} \right)={g}_{\mu \nu }\tilde{F}\left( {x}^{2} \right)+{x}_{\mu }{x}_{\nu }\tilde{\tilde{F}\left( {x}^{2} \right).

至于说这些 F\left( {x}^{2} \right),\tilde{F}\left( {x}^{2} \right),\tilde{\tilde{F}\left( {x}^{2} \right) 你管它是啥呢? 你只要知道它始终是 $x^2$ 的函数不就完了吗? 所以我说如果只是想导几下的话, 管你这那的?

Lorentz 坐标平方 $x^2$ 的函数关于 $x$ 求导出的一定是以 $g_{\mu \nu }$ 或 $x_{\mu }$ 为系数的 $x^2$ 的函数, 我想这是很显然的, 这不就是小学学的多重函数求导吗? 然后这些系数的指标还都是对称的, 因为 ${\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }={\partial }_{\nu }{\partial }_{\mu }$ 嘛, 那左边的指标对称右边就肯定也得对称呗.

当然你要不信也可以自己算算看吧, 毕竟这东西手算都很难出错:

• {\partial }_{\mu }{F}_{n}\left( {x}^{2} \right)=\frac{\partial {F}_{n}{\partial {x}^{2}\frac{\partial {x}^{2}{\partial {x}^{\mu }
• \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\partial {F}_{n}{\partial {x}^{2}\left( {x}^{\nu }\frac{\partial {x}_{\nu }{\partial {x}^{\mu }+\frac{\partial {x}^{\nu }{\partial {x}^{\mu }{x}_{\nu } \right)
• \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\partial {F}_{n}{\partial {x}^{2}\left( {x}^{\nu }{g}_{\nu \mu }+{g}^{\nu }_{\mu }{x}_{\nu } \right)=2{x}_{\mu }\frac{\partial {F}_{n}{\partial {x}^{2}\equiv {x}_{\mu }{F}_{n+1}\left( {x}^{2} \right).\
• $\overline{}$
• 由此我们可以约定 $F_n\left(x^2\right)\equiv F_n$, 及 {\partial }_{\mu }{F}_{n}=2{x}_{\mu }\frac{\partial {F}_{n}{\partial {x}^{2}\equiv {x}_{\mu }{F}_{n+1}.\
• $\overline{}$
• ${\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{F}_0={\partial }_{\nu }{\partial }_{\mu }{F}_0$
• \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={\partial }_{\nu }\left( {x}_{\mu }{F}_{1} \right)=\frac{\partial {x}_{\mu }{\partial {x}^{\nu }{F}_{1}+{x}_{\mu }{\partial }_{\nu }{F}_{1}={g}_{\mu \nu }{F}_{1}+{x}_{\mu }{x}_{\nu }{F}_{2}.\
• $\overline{}$
• ${\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{\partial }_{\rho }{F}_0={\partial }_{\rho }\left({\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{F}_0\right)$
• $={\partial }_{\rho }\left(g_{\mu \nu }{F}_1+x_{\mu }{x}_{\nu }{F}_2\right)$
• $=g_{\mu \nu }{\partial }_{\rho }{F}_1+{\partial }_{\rho }{x}_{\mu }{x}_{\nu }{F}_2+x_{\mu }{\partial }_{\rho }{x}_{\nu }{F}_2+x_{\mu }{x}_{\nu }{\partial }_{\rho }{F}_2$
• \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={g}_{\mu \nu }{x}_{\rho }{F}_{2}+{g}_{\mu \rho }{x}_{\nu }{F}_{2}+{x}_{\mu }{g}_{\nu \rho }{F}_{2}+{x}_{\mu }{x}_{\nu }{x}_{\rho }{F}_{3}.\
• $\overline{}$
• ${\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{\partial }_{\rho }{\partial }_{\sigma }{F}_0={\partial }_{\sigma }\left(g_{\mu \nu }{x}_{\rho }{F}_2+g_{\mu \rho }{x}_{\nu }{F}_2+x_{\mu }{g}_{\nu \rho }{F}_2+x_{\mu }{x}_{\nu }{x}_{\rho }{F}_3\right)$
• $=g_{\mu \nu }{\partial }_{\sigma }{x}_{\rho }{F}_2+g_{\mu \nu }{x}_{\rho }{\partial }_{\sigma }{F}_2$
• $+g_{\mu \rho }{\partial }_{\sigma }{x}_{\nu }{F}_2+g_{\mu \rho }{x}_{\nu }{\partial }_{\sigma }{F}_2$
• $+{\partial }_{\sigma }{x}_{\mu }{g}_{\nu \rho }{F}_2+x_{\mu }{g}_{\nu \rho }{\partial }_{\sigma }{F}_2$
• $+{\partial }_{\sigma }{x}_{\mu }{x}_{\nu }{x}_{\rho }{F}_3+x_{\mu }{\partial }_{\sigma }{x}_{\nu }{x}_{\rho }{F}_3$
• $+x_{\mu }{x}_{\nu }{\partial }_{\sigma }{x}_{\rho }{F}_3+x_{\mu }{x}_{\nu }{x}_{\rho }{\partial }_{\sigma }{F}_3$
• $=g_{\mu \nu }{g}_{\rho \sigma }{F}_2+g_{\mu \nu }{x}_{\rho }{x}_{\sigma }{F}_3$
• $+g_{\mu \rho }{g}_{\nu \sigma }{F}_2+g_{\mu \rho }{x}_{\nu }{x}_{\sigma }{F}_3$
• $+g_{\mu \sigma }{g}_{\nu \rho }{F}_2+x_{\mu }{g}_{\nu \rho }{x}_{\sigma }{F}_3$
• $+g_{\mu \sigma }{x}_{\nu }{x}_{\rho }{F}_3+x_{\mu }{g}_{\nu \sigma }{x}_{\rho }{F}_3$
• \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +{x}_{\mu }{x}_{\nu }{g}_{\rho \sigma }{F}_{3}+{x}_{\mu }{x}_{\nu }{x}_{\sigma }{x}_{\rho }{F}_{4}.\
• $\overline{}$
• 显然像 ${\partial }_{\mu }\cdots {\partial }_{\nu }F\left(x^2\right)$ 这样无论叠几个最后得到的指标都一定堆在那堆 $g_{\mu \nu }$ 与 $x_{\mu }$ 上, 且对 ${\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{\partial }_{\rho }{\partial }_{\sigma }{F}_0\left(x^2\right)$ 这样儿的我们都不用算就知道它是一定要满足这种对称结构的. 你自己想想吧, 比如说这个 ${\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{\partial }_{\rho }{\partial }_{\sigma }{\partial }_{\eta }{F}_0\left(x^2\right)$ 又怎么样呢?
• $\overline{}$
• ${\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{\partial }_{\rho }{\partial }_{\sigma }{\partial }_{\tau }{F}_0$
• =\text{S}\left( {g}_{\mu \nu }{g}_{\rho \sigma }{x}_{\tau } \right){F}_{3}+\text{S}\left( {g}_{\mu \nu }{x}_{\rho }{x}_{\sigma }{x}_{\tau } \right){F}_{4}+\text{S}\left( {x}_{\mu }{x}_{\nu }{x}_{\rho }{x}_{\sigma }{x}_{\tau } \right){F}_{5}.\
• $\overline{}$
• 它一定得是这样的结构, 其中 $F_n$ 下标的 $n$ 就取指标数减去度规数, 而这个 $\text{S}$ 算符的作用就是将指标做一个全排序后再仅留下其中那些互不等价的项, 比如:
• \text{S}\left( {g}_{\mu \nu }{x}_{\rho } \right)={g}_{\mu \nu }{x}_{\rho }\cancel{+{g}_{\nu \mu }{x}_{\rho }+{g}_{\mu \rho }{x}_{\nu }\cancel{+{g}_{\rho \mu }{x}_{\nu }+{g}_{\nu \rho }{x}_{\mu }\cancel{+{g}_{\rho \nu }{x}_{\mu }.\
• 或者说其实就是让每个指标都处于完全等价的地位然后系数为 $1$ 罢了.

总之 ${\partial }_{\mu }$ 打上来就只可能给出 $g_{\mu \nu }$ 或者 $x_{\mu }$, 而左边这些 ${\partial }_{\mu }\cdots {\partial }_{\nu }$ 都可交换所以右边的指标也必须得全对称. 全打 $F_0$ 上的那项显然就是 $F_{指标数}$, 而每多出个度规就意味着打在 $F_0$ 上的要少一个, 所以那一项对应的就是 $F_{指标数-度规数}.$ 那最后就是说其中一项的度规数一定是从零到 $\frac{指标数}{2}$ 的向下取整皆有可能, 这应该不难理解吧? 所以最终可以总结出这样的公式来:

• \ \ \ \ {\partial }_{\mu }_{1}{\partial }_{\mu }_{2}\cdots {\partial }_{\mu }_{n}_{0}{F}_{0}
• =\sum\nolimits_{n}_{1}=0}^{\left[ \frac{n}_{0}{2} \right]}{\text{S}\left( {g}_{\mu }_{1}{\mu }_{2}{g}_{\mu }_{3}{\mu }_{4}\cdots {g}_{\mu }_{2{n}_{1}-1}{\mu }_{2{n}_{1}{x}_{\mu }_{2{n}_{1}+1}{x}_{\mu }_{2{n}_{1}+2}\cdots {x}_{\mu }_{n}_{0} \right){F}_{n}_{0}-{n}_{1}
• =\sum\nolimits_{n}_{1}=0}^{\left[ \frac{n}_{0}{2} \right]}{\text{S}\left( \prod\nolimits_{n}_{2}=0}^{n}_{1}-1}{g}_{\mu }_{2{n}_{2}+1}{\mu }_{2{n}_{2}+2}\prod\nolimits_{n}_{3}=2{n}_{1}+1}^{n}_{0}{x}_{\mu }_{n}_{3} \right){F}_{n}_{0}-{n}_{1}.\
• 其中 {F}_{n}\equiv {F}_{n}\left( {x}^{2} \right)\equiv 2\frac{\partial {F}_{n-1}\left( {x}^{2} \right)}{\partial {x}^{2}.\

你最后肯定得扔给 maimai 来搞, 那就得先把这个 $\text{S}$ 算符的具体形式给它构造出来的:

• \ \ \ \ \text{S}\left( {g}_{\mu }_{1}{\mu }_{2}{g}_{\mu }_{3}{\mu }_{4}\cdots {g}_{\mu }_{2{n}_{1}-1}{\mu }_{2{n}_{1}{x}_{\mu }_{2{n}_{1}+1}{x}_{\mu }_{2{n}_{1}+2}\cdots {x}_{\mu }_{n}_{0} \right)
• =\frac{\sum\nolimits_{\pi \in {S}_{n}_{0}{g}_{\mu }_{\pi \left( 1 \right)}{\mu }_{\pi \left( 2 \right)}{g}_{\mu }_{\pi \left( 3 \right)}{\mu }_{\pi \left( 4 \right)}\cdots {g}_{\mu }_{\pi \left( 2{n}_{1}-1 \right)}{\mu }_{\pi \left( 2{n}_{1} \right)}{x}_{\mu }_{\pi \left( 2{n}_{1}+1 \right)}{x}_{\mu }_{\pi \left( 2{n}_{1}+2 \right)}\cdots {x}_{\mu }_{\pi \left( {n}_{0} \right)}{2}^{n}_{1}{n}_{1}!\left( {n}_{0}-2{n}_{1} \right)!}.\
• =\frac{1}{2}^{n}_{1}{n}_{1}!\left( {n}_{0}-2{n}_{1} \right)!}\sum\nolimits_{\pi \in {S}_{n}_{0}{\prod\nolimits_{n}_{2}=0}^{n}_{1}-1}{g}_{\mu }_{\pi \left( 2{n}_{2}+1 \right)}{\mu }_{\pi \left( 2{n}_{2}+2 \right)}\prod\nolimits_{n}_{3}=2{n}_{1}+1}^{n}_{0}{x}_{\mu }_{\pi \left( {n}_{3} \right)}.
• $\overline{}$
• 你要懒得看最下面内一大段儿可以就认为那个求和指的是指标全排列出的各项求和，，
• 然后分母上的 $2_1^n,n_1!,\left(n_0-2n_1\right)!$ 哥儿仨则分别是用来取消 $g_{\mu \nu }$ 指标的可交换性、 $g_{\mu \nu }$ 之间的可交换性及 $x_{\mu }$ 之间的可交换性带来的重复计数的.
• 其中的 \pi \in {S}_{n}_{0} 的意思是 $\pi$ 是完全变换群 {S}_{n}_{0} 中的元素, 按理说这个元素应该只是一个置换操作, 但对列表 $\left\{1,2,\cdots ,n_0\right\}$ 的任意一种置换操作都可以对应到一个置换后的排序, 而这里的 $\pi \left(n\right)$ 则代表这个排序的第 $n$ 个元素. 比如常见的完全变换群 $S_3$ 就可以表达为 $\left\{\left\{1,2,3\right\},\left\{1,3,2\right\},\left\{2,1,3\right\},\left\{2,3,1\right\},\left\{3,1,2\right\},\left\{3,2,1\right\}\right\}$, 那么 $\pi$ 作为其中的元素要取 $\pi =\left\{2,3,1\right\}$ 的话就有 $\pi \left(1\right)=2,\pi \left(2\right)=3,\pi \left(3\right)=1$. 所以嗯··· 你可以就认为那个求和指的是指标全排列出的各项求和，，

所以完整的公式··· 如果有必要写一下的话:

• {\partial }_{\mu }_{1}{\partial }_{\mu }_{2}\cdots {\partial }_{\mu }_{n}_{0}{F}_{0}=\sum\nolimits_{n}_{1}=0}^{\left[ \frac{n}_{0}{2} \right]}{\frac{\sum\nolimits_{\pi \in {S}_{n}_{0}{\prod\nolimits_{n}_{2}=0}^{n}_{1}-1}{g}_{\mu }_{\pi \left( 2{n}_{2}+1 \right)}{\mu }_{\pi \left( 2{n}_{2}+2 \right)}\prod\nolimits_{n}_{3}=2{n}_{1}+1}^{n}_{0}{x}_{\mu }_{\pi \left( {n}_{3} \right)}{2}^{n}_{1}{n}_{1}!\left( {n}_{0}-2{n}_{1} \right)!}{F}_{n}_{0}-{n}_{1}.\

1.2. 你真要不放心可以打个 maimai 验证下的

我用的就上边儿内公式, 然后第一个框是显然的; 第二个的话我们之前算过, 你可以去四指标那里数数 $\text{S}\left(g^{\mu \nu }{x}^{\rho }{x}^{\sigma }\right)$ 展开来是不是六个; 至于第三个框吧··· 我只能说信则灵了，，，反正你手算肯定行不通的, 看你除了信我还能怎么办吧.

这种小工具很好写的, 我瞎比怼个几行就给它实现了, 没考虑太多··· 你要搞不懂什么事 /: 的话可以参考下文:

https://zhuanlan.zhihu.com/p/1983918772449461168这里当然还用了 FeynCalc:

https://www.zhihu.com/question/36891138/answer/2164172233具体代码如下:

• FCEId[Term_]:=FCE[Term];
• MTInd/:MTInd[Mu1_,Mu2_]:=MTTab[{Mu1,Mu2}];
• FVInd/:FVInd[x_,Mu_]:=FVTab[{Mu}];
• IndTab/:IndTab[Tab1_]*IndTab[Tab2_]:=IndTab[Join[Tab1,Tab2]];
• TakeInd[Term_]:=First[ReplaceAll[{MTTab->IndTab,FVTab->IndTab}][ReplaceAll[{MT->MTInd,FV->FVInd}][FCEId[Term]]]];
• GoToHell[AnyShit___]:=1;
• Counting[AnyShit___]:=CountUnit;
• MTCount[Term_]:=Exponent[ReplaceAll[{FV->GoToHell,MT->Counting}][FCEId[Term]],CountUnit];
• FVCount[Term_]:=Exponent[ReplaceAll[{MT->GoToHell,FV->Counting}][FCEId[Term]],CountUnit];
• TensorPermuts[Term_]:=(TensorInds=TakeInd[Term];IndPermuts=Permutations[TensorInds];
• Sum[ReplaceAll[Thread[TensorInds->Part[IndPermuts,nIndPer]]][FCE[Term]],{nIndPer,1,Length[IndPermuts]}]);
• SOperator[Term_]:=Expand[TensorPermuts[Term]/(2^MTCount[Term] MTCount[Term]!(Length[TakeInd[Term]]-2MTCount[Term])!)];

第一行是啥? 第一行是浪费了我大量时间的臭比 bug, 总之别直接用 FCI 或 FCE, 像这样莫名其妙地多套一层有时就能省很多时间:

呃呃就很奇妙的感觉你懂吗?

另外 NIntegrate[#, {x, x1, x2}] &[F[x]] 有时也会比 NIntegrate[F[x], {x, x1, x2}] 要快得多···

啊为啥? 我不道啊，，

参考

• ^如果你跟我一样很懂这类运算的话其实不平衡也完全不会出问题, 不过你得承认这种平衡要求对新手来说很有价值, 它总是一道引人深思的逻辑保险.
• ^你要真说起来这也不叫测度, 这事微分形式，，
• ^也就是传说中的固有保时向 Lorentz 变换吧.
• ^arXiv:0811.1261.