正则量子化、传播子与自由场

正则量子化把经典场论中的场变量提升为算符，并用等时对易关系固定量子自由度。它是理解粒子解释、传播子和微扰展开的直接入口。

1. 标量场的共轭动量

以实标量场为例：

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2.$$

共轭动量为

$$\pi (x)=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\varphi }}=\dot{\varphi }(x).$$

正则量子化要求同一时间的场和共轭动量满足

$$[\varphi (t,\mathbf{x}),\pi (t,\mathbf{y})]=i{\delta }^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y}),$$

而场与场、动量与动量之间的等时对易子为零。

2. 模展开与粒子解释

自由标量场可展开为

$$\varphi (x)=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}}\left(a_{\mathbf{p}}{e}^{-ipx}+a_{\mathbf{p}}^{†}{e}^{ipx}\right),$$

其中

$$E_{\mathbf{p}}=\sqrt{{\mathbf{p}}^2+m^2}.$$

$a_{\mathbf{p}}^{†}$ 产生一个动量为 $\mathbf{p}$ 的量子，$a_{\mathbf{p}}$ 湮灭它。自由场的 Fock 空间由这些产生算符反复作用在真空上得到。

3. Feynman 传播子

时间序关联函数定义传播子：

$$D_F(x-y)=⟨0|T\varphi (x)\varphi (y)|0⟩.$$

动量空间中

$$D_F(p)=\frac{i}{p^2-m^2+iϵ}.$$

$iϵ$ 规定极点如何绕开，等价于指定真空边界条件。微扰论中的内线就是传播子，顶点来自相互作用拉氏量。

4. 费米场的差别

Dirac 场量子化使用反对易关系：

$$\{{\psi }_{\alpha }(t,\mathbf{x}),{\psi }_{\beta }^{†}(t,\mathbf{y})\}={\delta }_{\alpha \beta }{\delta }^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y}).$$

这保证多费米子态满足 Pauli 不相容原理。相应传播子为

$$S_F(p)=\frac{i({\gamma }^{\mu }{p}_{\mu }+m)}{p^2-m^2+iϵ}.$$

5. 复习检查表

• 能从拉氏量写出共轭动量和等时对易关系。
• 能解释产生算符、湮灭算符和 Fock 空间的关系。
• 能写出标量场 Feynman 传播子的动量空间形式。
• 能说明 $iϵ$ 是边界条件而不是装饰符号。
• 能区分玻色场对易关系和费米场反对易关系。