数学分析

数学分析是后续理论力学、电动力学、量子力学和数学物理方法共同依赖的基础。这里不追求把教材完整重写一遍，而是先整理一条在物理课程里最常用的主线：极限给出逼近语言，连续保证函数行为稳定，微分描述局部变化，积分描述累积效应，级数和函数列处理近似展开。

1. 极限与无穷小

极限的作用是把“越来越接近”变成可检查的命题。数列极限写作

n \to \infty lim a_{n} = A,

意思是当 $n$ 足够大时， $a_{n}$ 可以任意接近 $A$ 。函数极限则关注自变量趋近某点或无穷远时函数值的趋势：

x \to x_{0} lim f (x) = A .

在推导中常把无穷小看成近似的误差量。若

x \to x_{0} lim \frac{α ( x )}{β ( x )} = 0,

则称 $α$ 是比 $β$ 高阶的无穷小，记作 $α = o (β)$ 。Taylor 展开的余项、数值方法的误差阶和渐近近似都会用到这个记号。

函数 $f$ 在 $x_{0}$ 连续，意味着

x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0}) .

连续性把局部极限和函数取值连在一起。闭区间上的连续函数有三个常用结论：

这些结论在物理里常对应“可达到的平衡位置”“势能极值”和“本征值存在性”等问题。

导数描述局部线性近似：

f^{'} (x_{0}) = h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h} .

若 $h$ 很小，则

f (x_{0} + h) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) h .

中值定理说明导数不是孤立的局部量。若 $f$ 在 $[a, b]$ 连续、在 $(a, b)$ 可导，则存在 $ξ \in (a, b)$ ，使得

f (b) - f (a) = f^{'} (ξ) (b - a) .

它是误差估计、单调性判断和 Taylor 公式的基础。

Taylor 展开把函数在一点附近表示为多项式加余项：

f (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k} + R_{n} (x) .

若余项写成 Peano 形式，则

R_{n} (x) = o ((x - a)^{n}), x \to a .

物理推导里经常只保留低阶项。例如小角近似来自

sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + O (x^{5}),

当 $∣ x ∣$ 足够小时可取 $sin x \approx x$ 。单摆、微扰理论和线性响应都会用这种思想。

Riemann 积分把局部贡献累加为整体量：

\int_{a}^{b} f (x) d x = m a x Δ x_{i} \to 0 lim i \sum f (ξ_{i}) Δ x_{i} .

若 $F^{'} (x) = f (x)$ ，则 Newton-Leibniz 公式给出

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) .

在物理中，位移是速度对时间的积分，功是力沿路径的积分，电荷总量是电荷密度对空间的积分。积分的关键不是只会算原函数，而是能判断被积对象和积分区域的物理含义。

数项级数

n = 1 \sum \infty a_{n}

需要先判断是否收敛。函数项级数则把函数表示成一族简单函数的叠加，例如幂级数

n = 0 \sum \infty c_{n} (x - a)^{n}

和 Fourier 级数

f (x) \sim \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x) .

级数展开的核心问题有两个：在哪个区间内收敛，以及能否逐项求导、逐项积分。这些条件会直接影响解微分方程和处理边界条件时的合法性。