Weyl、Dirac、Majorana 质量项与两分量旋量

两分量旋量写法是四维 QFT 最高效的费米子语言之一。它把洛伦兹表示、质量项和电荷共轭关系写得非常直接，也正是中微子和 SUSY 计算里最常用的记法。

1. Weyl 旋量

左手 Weyl 旋量记为 ${\psi }_{\alpha }$，右手 Weyl 旋量记为 ${\bar{\chi }}_{\dot{\alpha }}$。它们属于不同的 Lorentz 表示。

2. Dirac 质量项

若两个 Weyl 场可用规范不变方式耦合，则可以形成 Dirac 质量项：

$${\mathcal{L}}_D=-m\psi \chi +\text{h.c.}$$

这对应一个四分量 Dirac 费米子。

3. Majorana 质量项

若某个 Weyl 场本身是规范单态或处在允许自共轭的表示中，可以写 Majorana 质量项：

$${\mathcal{L}}_M=-\frac{1}{2}m\psi \psi +\text{h.c.}$$

它破坏独立的 U(1) 数守恒，因此常与中微子质量相关。

4. 自由度计数

一个 Dirac 费米子有四个实自由度；一个 Majorana 费米子少一半，因为粒子和反粒子不是独立的。

5. 复习检查表

• 能区分 Weyl、Dirac 和 Majorana 三种写法。
• 能写出 Dirac 和 Majorana 质量项。
• 能说明 Majorana 为什么少自由度。
• 能解释两分量旋量为什么方便。
• 能把这套语言和中微子、SUSY 联系起来。