超空间、手征超场与 Wess-Zumino 模型

超空间把普通坐标和 Grassmann 坐标放在一起，使 $N=1$ SUSY 的变换规则更紧凑。Wess-Zumino 模型是最简单的可计算超对称场论例子。

1. 超空间坐标

四维 $N=1$ 超空间坐标为

$$(x^{\mu },{\theta }^{\alpha },{\bar{\theta }}^{\dot{\alpha }}).$$

其中 $\theta$ 和 $\bar{\theta }$ 是反交换 Grassmann 坐标。超场是在这些坐标上的函数，展开后包含普通场分量。

2. 手征超场

手征超场满足约束

$${\bar{D}}_{\dot{\alpha }}\Phi =0.$$

它的分量内容可概括为

$$\Phi =(\varphi ,\psi ,F),$$

其中 $\varphi$ 是复标量，$\psi$ 是 Weyl 费米子，$F$ 是辅助场。

3. Wess-Zumino 作用量

最简单的作用量由 Kähler 项和超势项组成：

$$S=\int d^{4}x{d}^4\theta {\Phi }^{†}\Phi +\left[\int d^{4}x{d}^2\theta W(\Phi )+\text{h.c.}\right].$$

常用超势为

$$W(\Phi )=\frac{1}{2}m{\Phi }^2+\frac{1}{3}y{\Phi }^3.$$

消去辅助场后得到标量势

$$V(\varphi )={\left|\frac{\partial W}{\partial \varphi }\right|}^2.$$

4. 为什么它重要

Wess-Zumino 模型展示了 SUSY 如何把标量相互作用、Yukawa 相互作用和辅助场结构绑定在一起。它也是学习非重整化定理、超势和 SUSY 破缺前的标准练习模型。

5. 复习检查表

• 能写出 $N=1$ 超空间坐标。
• 能说明手征约束 $\bar{D}\Phi =0$ 的作用。
• 能列出手征超场的三个分量。
• 能写出 Kähler 项和超势项的作用量结构。
• 能从超势得到 $V=|\partial W/\partial \varphi {|}^2$。