S 矩阵、LSZ 与截面

QFT 中的核心可观测量通常不是场本身，而是散射振幅、衰变宽度和截面。S 矩阵语言把“远过去的入态”和“远未来的出态”联系起来，是从关联函数走向实验量的桥梁。

1. S 矩阵的定义

设 $|i⟩$ 是入态，$|f⟩$ 是出态，S 矩阵元为

$$S_{fi}=⟨f|S|i⟩.$$

通常把平凡的“什么都没发生”部分拆掉：

$$S=1+iT.$$

动量守恒部分也常被抽出：

$$⟨f|iT|i⟩=i(2\pi {)}^4{\delta }^{(4)}(p_f-p_i)\mathcal{M}.$$

这里 $\mathcal{M}$ 是散射振幅。

2. LSZ 的思想

路径积分或算符方法先给出时间有序关联函数。LSZ 约化告诉我们：外线粒子对应关联函数在质量壳极点附近的留数。直观地说，散射振幅来自“截去外部传播子”的连通关联函数。

标量场的质量壳条件是

$$p^2=m^2.$$

外线约化会带来因子

$$p^2-m^2$$

并在最后取质量壳极限。实际计算树图时，费曼规则已经把这套约化流程压缩成外线、传播子和顶点的规则。

3. Mandelstam 变量

对 $2\to 2$ 散射，常用 Lorentz 不变量

$$s=(p_1+p_2{)}^2,t=(p_1-p_3{)}^2,u=(p_1-p_4{)}^2.$$

本站后续把第三个变量统一记作 $u$，即

$$u\equiv u.$$

若四个外线质量相同，则常有

$$s+t+u=4m^2.$$

4. 截面与相空间

散射截面把振幅和实验计数联系起来。形式上，微分截面包含

$$d\sigma \propto |\mathcal{M}{|}^{2}d{\Pi }_f,$$

其中 $d{\Pi }_f$ 是末态相空间。两体末态相空间在质心系中会化为角分布因子。复习时要记住：振幅只是中间对象，截面还需要通量因子、相空间和自旋/颜色平均。

5. 衰变宽度

衰变过程 $A\to f$ 的宽度写作

$$d\Gamma \propto |\mathcal{M}{|}^{2}d{\Pi }_f.$$

寿命与总宽度满足

$$\tau =\frac{1}{\Gamma }.$$

这说明散射和衰变在形式上都由振幅平方与相空间共同决定。

6. 检查表

• 能区分 $S$、$T$ 和 $\mathcal{M}$。
• 能说明 LSZ 把关联函数和散射振幅联系起来。
• 能写出 $s,t,u$ 的定义。
• 能说明截面需要振幅平方、通量因子、相空间和平均/求和。
• 能区分散射截面和衰变宽度。