WZW 模型与流代数

Wess-Zumino-Witten 模型是二维共形场论中的核心例子。它把群流形、拓扑项、手征流和 Kac-Moody 代数放在同一个可精确控制的模型里。

1. 作用量结构

令场 $g(z,\bar{z})$ 取值于 Lie 群 $G$。WZW 作用量由普通 Sigma 模型项和 Wess-Zumino 项组成：

$$S=\frac{k}{8\pi }{\int }_{\Sigma }\mathrm{Tr}(g^{-1}{\partial }_{a}g{g}^{-1}{\partial }^{a}g)+\frac{k}{12\pi }{\int }_B\mathrm{Tr}(g^{-1}dg{)}^3.$$

其中 $\partial B=\Sigma$。第二项依赖三维延拓，但量子理论要求系数 $k$ 取整数，这就是 level。

2. 手征流

模型有左右两个手征对称性。对应流可写成

$$J(z)=-k(\partial g)g^{-1},\bar{J}(\bar{z})=k{g}^{-1}\bar{\partial }g.$$

经典运动方程使它们分别只依赖 $z$ 或 $\bar{z}$。量子理论中，这些流生成仿射 Lie 代数。

3. OPE 与 Kac-Moody 代数

若 $J^a$ 是基底分量，流的 OPE 具有形式

$$J^a(z)J^b(w)\sim \frac{k{\delta }^{ab}}{(z-w{)}^2}+\frac{i{f}^{abc}{J}^c(w)}{z-w}.$$

第一项是中心扩张，第二项保留原来的 Lie 代数结构。这个 OPE 是计算一次场、能动张量和共形权重的入口。

4. Sugawara 构造

能动张量可以由流二次组合得到：

$$T(z)=\frac{1}{2(k+h^{\vee })}:J^a{J}^a:(z),$$

其中 $h^{\vee }$ 是对偶 Coxeter 数。由此可以得到中心荷

$$c=\frac{k\dim G}{k+h^{\vee }}.$$

这说明群论数据直接决定共形场论的数据。

5. 复习检查表

• 能说明 WZW 作用量中两项分别起什么作用。
• 能解释 level $k$ 为什么是量子化参数。
• 能写出流 OPE 的二阶极点和一阶极点。
• 能说明 Kac-Moody 代数如何扩展普通 Lie 代数。
• 能用 Sugawara 构造把流代数和 Virasoro 代数联系起来。