SU(5) 大统一模型细化

SU(5) 大统一模型把一代标准模型费米子嵌入少数几个 SU(5) 表示中，并把强、弱、电磁相互作用看作高能下同一规范群的不同残留部分。

1. 规范群破缺

最小 SU(5) 的核心破缺链为

$$SU(5)\to SU(3{)}_c\times SU(2{)}_L\times U(1{)}_Y.$$

通常用伴随表示 Higgs 场 $\Sigma$ 完成这个破缺。真空期望值可取与

$$\mathrm{diag}(2,2,2,-3,-3)$$

成比例的方向，从而保留 $SU(3{)}_c$ 和 $SU(2{)}_L$ 子群。

2. 费米子嵌入

一代费米子可放入

$$\bar{5}\oplus 10.$$

粗略地说，$\bar{5}$ 包含右手下夸克的反粒子和左手轻子双重态，$10$ 包含左手夸克双重态、右手上夸克反粒子和右手电子反粒子。

这种嵌入解释了为什么标准模型一代粒子的量子数看起来并非随意拼接，而像是更大表示分解后的结果。

3. 超荷归一化与耦合统一

SU(5) 中超荷生成元嵌入在统一群内部，因此 $U(1{)}_Y$ 的归一化被固定。常用关系写成

$$g_1=\sqrt{\frac{5}{3}}{g}_Y.$$

耦合统一讨论比较的是 $g_1,g_2,g_3$ 随能标的跑动是否在高能附近相交。最小非超对称 SU(5) 的精确统一并不理想，而低能超对称会改变 beta 函数，使统一图像更接近。

4. 质子衰变问题

SU(5) 中额外的重规范玻色子可连接夸克和轻子，诱导重子数破坏过程。有效算符可以概括为

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{eff}}\sim \frac{1}{M_X^2}qqql.$$

这会导致质子衰变。实验对质子寿命的下限给大统一尺度和模型细节施加强约束。

5. 复习检查表

• 能写出 SU(5) 到标准模型规范群的破缺链。
• 能说明一代费米子如何放入 $\bar{5}\oplus 10$。
• 能解释 $g_1=\sqrt{5/3}{g}_Y$ 的归一化意义。
• 能说出耦合统一为什么依赖 beta 函数。
• 能说明质子衰变为什么是 SU(5) 的关键实验约束。