Schwinger-Dyson 方程

Schwinger-Dyson 方程是量子场论的运动方程版恒等式。它们来自路径积分中变量替换的积分恒等关系，既可做非微扰分析，也可组织格林函数层级。

1. 基本想法

对路径积分中的场变量做无穷小平移，积分测度不变，得到

$$⟨\frac{\delta S}{\delta \varphi (x)}⟩=0$$

更一般地，对任意插入算符可以得到一串关系，把 $n$ 点函数和 $(n+1)$ 点函数联系起来。

2. 层级结构

对格林函数而言，方程通常是无限层级：

$$G^{(n)}\leftrightarrow G^{(n+1)}\leftrightarrow G^{(n+2)}\cdots$$

因此精确求解通常困难，但在截断近似、1/N 展开或数值方法里极有用。

3. 物理用途

Schwinger-Dyson 方程可用于研究传播子修正、凝聚、动力学质量生成和强耦合行为。它们是非微扰 QFT 的重要工具。

4. 与 Euler-Lagrange 的关系

经典极限下，Schwinger-Dyson 方程退化为场方程；量子层面则补上了关联函数与路径积分平均的内容。

5. 复习检查表

• 能说明 Schwinger-Dyson 方程从哪里来。
• 能解释它和经典运动方程的关系。
• 能说出层级结构为什么难解。
• 能举出非微扰应用场景。
• 能区分精确方程和近似截断。