QED 专题笔记

QED 是学习规范场论最合适的第一个完整例子。它把 Dirac 费米子、无质量规范场、局域 $U(1)$ 对称性和可计算的散射过程放在同一个框架里。

1. QED 拉氏量

QED 的紧凑写法是

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{QED}}=-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }+\bar{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }-m)\psi ,$$

其中

$$D_{\mu }={\partial }_{\mu }+ie{A}_{\mu },F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }.$$

展开协变导数后可以看出相互作用项：

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{int}}=-e\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }{A}_{\mu }\psi .$$

它对应电子、正电子和光子之间的基本顶点。

2. 局域规范不变性

QED 在局域相位变换下保持形式不变：

$$\psi (x)\to e^{-ie\alpha (x)}\psi (x),A_{\mu }(x)\to A_{\mu }(x)+{\partial }_{\mu }\alpha (x).$$

普通导数在局域变换下会多出额外项，所以必须用协变导数 $D_{\mu }$。这一点是从全局相位对称性走向相互作用的关键。

3. 传播子与顶点

Feynman 规范下常用光子传播子为

$$D_F^{\mu \nu }(p)=\frac{-i{g}^{\mu \nu }}{p^2+iϵ}.$$

Dirac 传播子为

$$S_F(p)=\frac{i(/p+m)}{p^2-m^2+iϵ}.$$

QED 顶点因子为

$$-ie{\gamma }^{\mu }.$$

这些规则必须和度规、Fourier 变换以及振幅约定一起使用，不能孤立背诵。

4. Ward 恒等式的直观含义

规范不变性会约束振幅。最简单的表达是：把外部光子的极化矢量替换成其动量时，物理振幅应消失，形式上写作

$$q_{\mu }{\mathcal{M}}^{\mu }=0.$$

这不是一个额外技巧，而是电荷守恒和规范冗余在散射振幅中的体现。它也常用于检查计算是否漏掉图或符号。

5. 典型过程

QED 第一轮可以按这些过程练习：

• $e^{-}{\mu }^{-}\to e^{-}{\mu }^{-}$：最小的带电费米子散射例子，重点是光子传播子和自旋平均。
• $e^{-}{e}^{+}\to {\mu }^{-}{\mu }^{+}$：理解湮灭道和 Mandelstam 变量。
• Compton 散射：理解多个树图相加和规范不变性检查。
• 电子自能、真空极化、顶点修正：作为一圈重整化入口。

6. 辐射修正与重整化路线

一圈修正会引入发散，需要正则化和重整化。QED 中常见对象包括

$$Z_2,Z_3,Z_m,Z_e.$$

它们分别对应费米子场、光子场、质量和电荷的重整化。第一轮学习不必立即完成所有积分，但应知道：实验中测量到的电荷和质量不是裸参数，而是重整化后的物理参数。

7. 复习检查表

• 能从局域 $U(1)$ 对称性推出协变导数。
• 能写出 QED 拉氏量、传播子和顶点。
• 能说明光子只有两个物理横向偏振。
• 能用 Ward 恒等式做振幅一致性检查。
• 能区分树图 QED 过程和一圈辐射修正问题。