重整化与 RG 笔记

重整化不是“把无穷大藏起来”的技巧，而是连接不同能标下理论描述的系统方法。QFT 教材中从 counterterm、running coupling、effective action 到 Wilson RG 的内容，都可以放在同一条主线中理解。

1. 为什么会出现发散

圈图含有内部动量积分。例如标量理论中常见积分形式为

$$\int \frac{d^{4}k}{(2\pi {)}^4}\frac{i}{k^2-m^2+iϵ}.$$

当 $k\to \infty$ 时，积分可能发散。紫外发散说明我们把理论外推到了任意短距离，而有效理论本来只在某个能标范围内可靠。

2. 正则化与重整化

正则化先让发散表达式变得有定义，例如引入 cutoff $\Lambda$ 或使用维数正规化。重整化再把裸参数改写为物理参数和 counterterm：

$$\mathcal{L}={\mathcal{L}}_{\mathrm{ren}}+{\mathcal{L}}_{\mathrm{ct}}.$$

物理量应由重整化后的质量、耦合和场强表达，而不是由不可直接观测的裸参数表达。

3. 可重整与不可重整

一个算符 ${\mathcal{O}}_i$ 的质量维数为 $d_i$。在四维中，耦合常数维数为

$$[g_i]=4-d_i.$$

若 $d_i\le 4$，通常称为可重整或边际/相关；若 $d_i>4$，则是不可重整算符。但在有效场论中，不可重整并不等于无用，它们只是被高能标压低：

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{EFT}}={\mathcal{L}}_0+\sum _i\frac{c_i}{{\Lambda }^{d_i-4}}{\mathcal{O}}_i.$$

4. 运行耦合与 beta 函数

耦合常数随重整化能标 $\mu$ 变化。beta 函数定义为

$$\beta (g)=\mu \frac{dg}{d\mu }.$$

若 $\beta (g)<0$，耦合在高能变弱，可能出现渐近自由。QCD 的高能行为就是典型例子。

5. Wilson RG 图像

Wilson 的思路是逐步积分掉高动量自由度，然后重新缩放。这样得到的有效作用量会随能标流动：

$$S_{\Lambda }\to S_{\Lambda /b}.$$

RG 固定点描述尺度不变的理论，相关扰动决定离开固定点的方向。这个图像把统计物理临界现象和 QFT 重整化联系起来。

6. Callan-Symanzik 方程

关联函数的能标依赖可用 Callan-Symanzik 方程组织。形式上，$n$ 点函数满足

$$\left(\mu \frac{\partial }{\partial \mu }+\beta (g)\frac{\partial }{\partial g}+n\gamma \right)G^{(n)}=0.$$

其中 $\gamma$ 是场的反常维数。它表达的是：物理关联函数不能依赖任意选取的重整化标尺。

7. 复习检查表

• 能区分正则化和重整化。
• 能说明 counterterm 的作用。
• 能用算符维数判断 EFT 中的压低因子。
• 能写出 beta 函数定义并解释 running coupling。
• 能用 Wilson 图像说明“积分掉高能自由度”。
• 能把 RG 固定点和尺度不变性联系起来。