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经典场论初学者笔记
记号遵循 David Tong《Quantum Field Theory》讲义：
0. 整体逻辑图
一般场论主线
电磁场主线
\Longrightarrow \begin{cases} \text{Bianchi 恒等式} &\Longrightarrow \text{齐次 Maxwell 方程},\\delta S=0 &\Longrightarrow \text{非齐次 Maxwell 方程}. \end
齐次方程属于**运动学恒等式**；非齐次方程属于由作用量决定的**动力学方程**。 --- # 1. 什么是场 理论力学研究有限个广义坐标：q_a(t),\qquad a=1,\ldots,N.
\phi_a(\mathbf x,t).
对于每个空间点 $\mathbf x$，都有一个场值。因此场论可以视为具有连续无穷多个自由度的力学系统：q_a(t) \quad\longrightarrow\quad \phi_a(\mathbf x,t).
这里： - $a$ 标记场的种类或内部分量； - $\mathbf x$ 不再是动力学变量，而是自由度的连续标签； - 场方程通常是偏微分方程。 --- # 2. 四维时空与指标 ## 2.1 四维时空点 Tong 采用自然单位制 $c=1$，所以x^\mu=(x^0,x^1,x^2,x^3)=(t,x,y,z).
\mu,\nu,\rho,\sigma=0,1,2,3.
其中 $\mu=0$ 对应时间方向，$\mu=1,2,3$ 对应三个空间方向。 “时间分量”指沿时空时间方向的第 $0$ 分量，并不表示该分量本身就是时间或具有时间量纲。 ## 2.2 Einstein 求和约定 同一个指标在一项中出现两次，并且一个在上、一个在下时，默认求和：A_\mu B^\mu \equiv \sum_{\mu=0}^{3}A_\mu B^\mu.
只出现一次的指标称为**自由指标**，不能被求和。 --- # 3. 度规、协变与逆变 ## 3.1 Minkowski 度规 Tong 使用\eta_{\mu\nu}
\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1).
U\cdot V
\eta_{\mu\nu}U^\mu V^\nu
U^0V^0-U^1V^1-U^2V^2-U^3V^3.
ds^2
\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu
dt^2-d\mathbf x^2.
Lorentz 变换保持 $ds^2$ 不变。 ## 3.2 上指标和下指标 上指标分量称为**逆变分量**，下指标分量称为**协变分量**：V^\mu, \qquad V_\mu.
V_\mu=\eta_{\mu\nu}V^\nu, \qquad V^\mu=\eta^{\mu\nu}V_\nu.
V^\mu=(V^0,V^1,V^2,V^3)
V_\mu=(V^0,-V^1,-V^2,-V^3).
上、下指标不是两个不同物理量，而是同一几何对象的两种分量表示。 --- # 4. 四维导数 定义\partial_\mu \equiv \frac{\partial}{\partial x^\mu}.
\partial_\mu
(\partial_t,\partial_x,\partial_y,\partial_z)
(\partial_t,\nabla).
\partial^\mu
\eta^{\mu\nu}\partial_\nu
(\partial_t,-\nabla).
\partial_\mu\phi,\partial^\mu\phi
(\partial_t\phi)^2-(\nabla\phi)^2.
\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi,\partial_\nu\phi
\partial_\mu\phi,\partial^\mu\phi
完全相同。后者只是把度规隐藏在升指标的定义中。 --- # 5. Lorentz 变换 Lorentz 变换写为x'^\mu
\Lambda^\mu{}_{\nu}x^\nu.
$\Lambda$ 是 Lorentz 变换矩阵，满足\Lambda^T\eta\Lambda=\eta.
\phi'(x')=\phi(x).
若固定坐标标签 $x$，可以写成\phi'(x)=\phi(\Lambda^{-1}x).
\phi(x)\longrightarrow\phi'(x)
表示“对场实施 Lorentz 变换”，不是时间演化，也不是等号。 --- # 6. 拉格朗日密度、拉格朗日量与作用量 场论中的拉格朗日密度是\mathcal L
\mathcal L(\phi_a,\partial_\mu\phi_a).
L(t)
\int d^3x,\mathcal L.
S
\int dt,L(t)
\int d^4x,\mathcal L.
\mathcal L=\text{拉格朗日密度}, \qquad L=\text{总拉格朗日量}, \qquad S=\text{作用量}.
$L=T-V$ 是常见机械系统中的形式，但不是拉格朗日量的普遍定义。 --- # 7. 场的 Euler–Lagrange 方程 设S[\phi_a]
\int d^4x, \mathcal L(\phi_a,\partial_\mu\phi_a).
\phi_a \longrightarrow \phi_a+\delta\phi_a.
\delta S
\int d^4x \left[ \frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_a}\delta\phi_a + \frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)} \delta(\partial_\mu\phi_a) \right].
\delta(\partial_\mu\phi_a)
\partial_\mu(\delta\phi_a),
\delta S
\int d^4x \left[ \frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_a}
\partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)} \right) \right]\delta\phi_a.
\delta S=0.
因为内部的 $\delta\phi_a(x)$ 任意，所以\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_a}
\partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)} \right) =0.
\partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)} \right)
\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_a} =0.
这就是场的 Euler–Lagrange 方程。 --- # 8. Klein–Gordon 场 自由实标量场取\mathcal L
\frac12\partial_\mu\phi,\partial^\mu\phi
\frac12m^2\phi^2.
\mathcal L
\frac12\dot\phi^2
\frac12(\nabla\phi)^2
\frac12m^2\phi^2.
(\Box+m^2)\phi=0,
\Box \equiv \partial_\mu\partial^\mu
\partial_t^2-\nabla^2.
满足该方程的自由实标量场称为 **Klein–Gordon 场**。量子化后，它描述质量为 $m$、自旋为 $0$ 的相对论性自由度；它不是普通量子力学中的单粒子波函数。 --- # 9. 一阶时间导数的复场 考虑\mathcal L
\frac{i}{2} \left( \psi^\dot\psi-\dot\psi^\psi \right)
\nabla\psi^*\cdot\nabla\psi
m\psi^*\psi.
变分时将 $\psi$ 与 $\psi^*$ 暂时视为独立变量。这等价于对复场的实部和虚部分别变分。 该理论： - 对时间导数是一阶； - 对空间导数是二次； - 时间和空间不处于相同结构中； - 因而不是 Lorentz 不变的相对论性理论。 一般场论未必都是 Lorentz 不变的；只有相对论性场论才要求作用量具有 Lorentz 不变性。 --- # 10. 如何快速判断 Lorentz 标量 一个实用检查是： > 最终表达式中不应留下自由 Lorentz 指标，且各对象必须按照相应 Lorentz 张量规则变换。 例如\partial_\mu\phi,\partial^\mu\phi, \qquad A_\mu A^\mu, \qquad F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
\partial_\mu\phi, \qquad A^\mu, \qquad F^{\mu\nu}
仍带自由指标，不是标量，不能单独作为拉格朗日密度。 Lorentz 标量性只是构造相对论拉格朗日密度的必要条件之一，还要考虑局域性、内部对称性、规范不变性、实数性、稳定性与实验事实。 --- # 11. 四维电磁势 Tong 定义A_\mu=(\phi,\mathbf A).
A^\mu
\eta^{\mu\nu}A_\nu
(\phi,-\mathbf A).
\mathbf E
-\nabla\phi
\frac{\partial\mathbf A}{\partial t},
\mathbf B
\nabla\times\mathbf A.
\nabla\cdot\mathbf B=0, \qquad \frac{\partial\mathbf B}{\partial t}
-\nabla\times\mathbf E.
--- # 12. 电磁场强张量 定义F_{\mu\nu}
\partial_\mu A_\nu- \partial_\nu A_\mu.
F_{\nu\mu}=-F_{\mu\nu}.
因此 $4\times4$ 矩阵虽然有 $16$ 个位置，却只有\frac{4(4-1)}{2}=6
个独立分量，恰好对应 $\mathbf E$ 和 $\mathbf B$ 的六个分量。 按 Tong 的记号，F_{\mu\nu}
\begin{pmatrix} 0&E_x&E_y&E_z\ -E_x&0&-B_z&B_y\ -E_y&B_z&0&-B_x\ -E_z&-B_y&B_x&0 \end{pmatrix}.
F_{0i}=E_i, \qquad F_{ij}=-\epsilon_{ijk}B_k.
A_\mu \longrightarrow A_\mu+\partial_\mu\lambda.
在此变换下，$F_{\mu\nu}$ 不变，因为偏导数可以交换。 --- # 13. Bianchi 恒等式与齐次 Maxwell 方程 由 $F_{\mu\nu}$ 的定义可得\partial_\lambda F_{\mu\nu} + \partial_\mu F_{\nu\lambda} + \partial_\nu F_{\lambda\mu} =0.
\partial_\lambda\partial_\mu
\partial_\mu\partial_\lambda.
因此它不是额外的运动方程，而是恒等式。 ## 13.1 推出 $\nabla\cdot\mathbf B=0$ 取(\lambda,\mu,\nu)=(1,2,3),
\partial_1F_{23} + \partial_2F_{31} + \partial_3F_{12}=0.
F_{23}=-B_x, \qquad F_{31}=-B_y, \qquad F_{12}=-B_z,
\nabla\cdot\mathbf B=0.
## 13.2 推出 Faraday 定律 取(\lambda,\mu,\nu)=(0,1,2),
\partial_0F_{12} + \partial_1F_{20} + \partial_2F_{01}=0.
F_{12}=-B_z, \qquad F_{20}=-E_y, \qquad F_{01}=E_x,
\partial_tB_z
-(\nabla\times\mathbf E)_z.
\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}
-\nabla\times\mathbf E.
所以 Bianchi 恒等式完整等价于两条齐次 Maxwell 方程。 --- # 14. 电磁场拉格朗日密度 自由电磁场取\mathcal L_{\mathrm{EM}}
-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}.
F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
2(\mathbf B^2-\mathbf E^2),
\mathcal L_{\mathrm{EM}}
\frac12\mathbf E^2
\frac12\mathbf B^2.
负号保证时间动力学项具有正确符号；$1/4$ 补偿二次变分产生的因子 $2$ 和反对称指标重复计数产生的因子 $2$。 存在外部电荷和电流时，定义J^\mu=(\rho,\mathbf J).
\mathcal L_{\mathrm{int}}
-J^\mu A_\mu.
J^\mu A_\mu
\rho\phi-\mathbf J\cdot\mathbf A,
-J^\mu A_\mu
-\rho\phi+\mathbf J\cdot\mathbf A.
\mathcal L
-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
J^\mu A_\mu.
--- # 15. 从作用量推出非齐次 Maxwell 方程 作用量为S[A]
\int d^4x \left[ -\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
J^\mu A_\mu \right].
对 $A_\nu$ 变分：\delta F_{\mu\nu}
\partial_\mu\delta A_\nu
\partial_\nu\delta A_\mu.
利用 $F^{\mu\nu}$ 的反对称性并分部积分后，\delta S
\int d^4x \left( \partial_\mu F^{\mu\nu}-J^\nu \right)\delta A_\nu.
由于 $\delta A_\nu(x)$ 任意，作用量驻值条件给出\partial_\mu F^{\mu\nu}=J^\nu.
取 $\nu=0$ 得到\nabla\cdot\mathbf E=\rho.
取 $\nu=i$ 得到\nabla\times\mathbf B
\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}
\mathbf J.
--- # 16. 完整 Maxwell 方程组 在 Tong 的自然单位约定下：\nabla\cdot\mathbf E=\rho,
\nabla\times\mathbf B
\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}
\mathbf J,
\nabla\cdot\mathbf B=0,
\nabla\times\mathbf E + \frac{\partial\mathbf B}{\partial t} =0.
\partial_\mu F^{\mu\nu}=J^\nu
\partial_\lambda F_{\mu\nu} + \partial_\mu F_{\nu\lambda} + \partial_\nu F_{\lambda\mu} =0.
来源必须区分： - 齐次方程来自 $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ 的定义； - 非齐次方程来自电磁作用量的变分原理。 --- # 17. Noether 定理 Noether 第一定理： > 作用量的每一个连续物理对称性，都对应一个守恒流。 若\delta\phi_a
\epsilon,\Delta\phi_a
\delta\mathcal L
\epsilon,\partial_\mu K^\mu,
j^\mu
\sum_a \frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)} \Delta\phi_a
K^\mu,
\partial_\mu j^\mu=0.
Q
\int d^3x,j^0.
\frac{dQ}{dt}=0.
常见对应关系： | 连续对称性 | 守恒量 | |---|---| | 时间平移 | 能量 | | 空间平移 | 动量 | | 空间旋转 | 角动量 | | 全局 $U(1)$ 相位变换 | 电荷型守恒量 | --- # 18. 常见混淆 1. **“时间分量”不是时间。** 它只是四维对象沿时间方向的第 $0$ 分量。 2. **$\partial_\mu\phi$ 没有自动求和。** 只有重复的一上一下指标才求和。 3. **度规没有消失。** $\partial^\mu=\eta^{\mu\nu}\partial_\nu$。 4. **拉格朗日密度不能任意选择。** Lorentz 标量性只是必要条件之一。 5. **不是所有场论都 Lorentz 不变。** 非相对论场论仍然是合法场论。 6. **齐次与非齐次 Maxwell 方程来源不同。** 前者是恒等式，后者是动力学方程。 --- # 19. 最终公式清单 ## 时空和度规x^\mu=(t,\mathbf x), \qquad \eta_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1).
\partial_\mu=(\partial_t,\nabla), \qquad \partial^\mu=(\partial_t,-\nabla).
## 场论L(t)=\int d^3x,\mathcal L, \qquad S=\int d^4x,\mathcal L.
\partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)} \right)
\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_a} =0.
## Klein–Gordon 场\mathcal L
\frac12\partial_\mu\phi,\partial^\mu\phi
\frac12m^2\phi^2.
(\Box+m^2)\phi=0, \qquad \Box=\partial_t^2-\nabla^2.
## 电磁场A_\mu=(\phi,\mathbf A).
\mathbf E=-\nabla\phi-\partial_t\mathbf A, \qquad \mathbf B=\nabla\times\mathbf A.
F_{\mu\nu}
\partial_\mu A_\nu- \partial_\nu A_\mu.
\mathcal L
-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
J^\mu A_\mu.
\partial_\mu F^{\mu\nu}=J^\nu.
\partial_\lambda F_{\mu\nu} + \partial_\mu F_{\nu\lambda} + \partial_\nu F_{\lambda\mu} =0.
## Noether 定理\text{连续对称性} \Longrightarrow \partial_\mu j^\mu=0 \Longrightarrow Q=\int d^3x,j^0\text{ 守恒}. $$