味混合、CKM 与 PMNS

标准模型中的“味”不是单纯的粒子标签。质量本征态和弱相互作用本征态不必完全重合，这个不重合就是味混合的来源。

1. Yukawa 矩阵与质量基

以夸克为例，Yukawa 项在电弱破缺后给出质量矩阵：

$${\mathcal{L}}_Y=-{\bar{u}}_L{M}_u{u}_R-{\bar{d}}_L{M}_d{d}_R+\text{h.c.}$$

一般的 $M_u$、$M_d$ 不是对角矩阵。要得到质量明确的粒子，需要用左右幺正变换对角化：

$$U_{uL}^{†}{M}_u{U}_{uR}=M_u^{\mathrm{diag}},U_{dL}^{†}{M}_d{U}_{dR}=M_d^{\mathrm{diag}}.$$

中性流在这个变换下仍保持味对角，而带电弱流会留下一个相对旋转。

2. CKM 矩阵

带电流相互作用可写成

$${\mathcal{L}}_{cc}=\frac{g}{\sqrt{2}}{\bar{u}}_L{\gamma }^{\mu }{V}_{\mathrm{CKM}}{d}_L{W}_{\mu }^{+}+\text{h.c.},$$

其中

$$V_{\mathrm{CKM}}=U_{uL}^{†}{U}_{dL}.$$

它描述上型夸克和下型夸克在弱相互作用中的配对不是一一固定的。对三代夸克，CKM 矩阵包含三个混合角和一个不可去掉的复相位；这个复相位是标准模型中 CP 破坏的重要来源。

3. PMNS 矩阵

轻子部分的混合写成

$${\mathcal{L}}_{cc}=\frac{g}{\sqrt{2}}{\bar{\ell }}_L{\gamma }^{\mu }{U}_{\mathrm{PMNS}}{\nu }_L{W}_{\mu }^{-}+\text{h.c.}.$$

若中微子有质量，传播本征态和弱相互作用本征态不同，中微子振荡就会出现。振荡相位主要由

$$\Delta {\varphi }_{ij}\simeq \frac{\Delta m_{ij}^{2}L}{2E}$$

控制，其中 $L$ 是传播距离，$E$ 是中微子能量。

4. 为什么味混合重要

味混合把质量起源、弱相互作用和 CP 破坏连接在一起。它也说明标准模型的许多数值输入来自 Yukawa 结构，而不是由规范对称性直接决定。

CKM 和 PMNS 的差异尤其值得注意：夸克混合角整体较小，而轻子混合角可以很大。这是标准模型参数结构中最显眼的未解释现象之一。

5. 复习检查表

• 能说明质量本征态和弱本征态为什么会不同。
• 能从 Yukawa 矩阵对角化得到 CKM 的相对旋转。
• 能解释三代 CKM 复相位与 CP 破坏的关系。
• 能写出中微子振荡相位对 $\Delta m^2$、$L$、$E$ 的依赖。
• 能区分夸克混合与轻子混合的实验特征。