QCD 与渐近自由

QCD 是以 $SU(3{)}_c$ 为规范群的非 Abelian 规范理论。它和 QED 最核心的差别在于：胶子本身带颜色荷，因此胶子之间也会相互作用。

1. QCD 拉氏量

夸克和胶子的基本形式为

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{QCD}}=-\frac{1}{4}{G}_{\mu \nu }^a{G}^{a\mu \nu }+\sum _f{\bar{q}}_f(i{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }-m_f)q_f.$$

场强不是简单的导数差：

$$G_{\mu \nu }^a={\partial }_{\mu }{G}_{\nu }^a-{\partial }_{\nu }{G}_{\mu }^a+g_s{f}^{abc}{G}_{\mu }^b{G}_{\nu }^c.$$

最后一项来自 $SU(3)$ 生成元不对易，直接导致三胶子和四胶子顶点。

2. 跑动耦合

重整化群方程描述耦合常数随能标变化：

$$\mu \frac{d{g}_s}{d\mu }=\beta (g_s).$$

一圈近似下

$$\beta (g_s)=-\frac{g_s^3}{16{\pi }^2}\left(\frac{11}{3}{C}_A-\frac{4}{3}{T}_R{n}_f\right).$$

对 QCD，$C_A=3$、$T_R=1/2$，若味数 $n_f$ 不太大，括号为正，因此 $\beta (g_s)<0$。能标越高，$g_s$ 越小。

3. 渐近自由与色禁闭

渐近自由的含义是：在高能短距离过程里，夸克和胶子的相互作用变弱，微扰展开更可靠。典型写法是

$${\alpha }_s(Q^2)\simeq \frac{4\pi }{{\beta }_0\ln (Q^2/{\Lambda }_{\mathrm{QCD}}^2)}.$$

当 $Q$ 增大时，分母增大，${\alpha }_s$ 变小。反过来在低能长距离区域，耦合变强，单个夸克和胶子不作为孤立自由粒子出现，这就是色禁闭的经验图像。

4. 物理应用

高能散射、喷注、深度非弹性散射和强子碰撞中的硬过程都依赖渐近自由。计算通常把短距离部分用微扰 QCD 处理，把长距离强子化和部分子分布函数作为非微扰输入。

因此 QCD 学习要同时保留两条线：一条是规范理论和重整化群的公式线，另一条是实验可观测量如何把夸克胶子语言连接到强子末态。

5. 复习检查表

• 能写出 QCD 场强中非 Abelian 自相互作用项。
• 能说明为什么胶子会产生三点和四点顶点。
• 能根据一圈 beta 函数判断高能下耦合变弱。
• 能区分渐近自由和色禁闭对应的能标区域。
• 能说出微扰 QCD 适用于哪些短距离过程。