数学物理方法

数学物理方法把分析工具组织成可直接处理物理方程的语言。课程里最常见的任务不是孤立地计算积分，而是把边界条件、对称性和源项合在一起，求解 Laplace 方程、Poisson 方程、波动方程、扩散方程和 Schrodinger 方程。

1. Fourier 分析

Fourier 分析的核心思想是：用平面波或三角函数作为基底，把复杂函数拆成不同频率的叠加。对足够良好的函数 $f(x)$，Fourier 变换和逆变换可写为

$$\hat{f}(k)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ikx}\mathrm{d}x,$$$$f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(k)e^{ikx}\mathrm{d}k.$$

微分在 Fourier 空间中变成乘法：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)⟷ik\hat{f}(k).$$

因此 Fourier 变换常把常系数微分方程转成代数方程。波动方程、热传导方程和量子力学的动量表象都依赖这个思想。

2. 正交函数展开

在有限区间上，常用正交函数系展开函数。若

$${\int }_a^b{\varphi }_m(x){\varphi }_n(x)w(x)\mathrm{d}x=N_n{\delta }_{mn},$$

则函数可形式地写成

$$f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{\varphi }_n(x),c_n=\frac{1}{N_n}{\int }_a^{b}f(x){\varphi }_n(x)w(x)\mathrm{d}x.$$

这里 $w(x)$ 是权函数。Legendre 多项式、Bessel 函数和球谐函数都可以放进这个框架中理解：它们不是凭空出现的特殊函数，而是特定坐标系和边界条件下的本征函数。

3. 常见偏微分方程

• Laplace 方程：${\nabla }^{2}u=0$。
• Poisson 方程：${\nabla }^{2}u=f$ 或 ${\nabla }^2\varphi =-\rho /{\epsilon }_0$。
• 波动方程：${\nabla }^{2}u-\frac{1}{v^2}{\partial }_t^{2}u=0$。
• 扩散方程：${\partial }_{t}u=D{\nabla }^{2}u$。

这些方程的求解通常依赖三件事：

• 区域形状：直角坐标、柱坐标或球坐标会导向不同的函数系。
• 边界条件：Dirichlet 条件给定函数值，Neumann 条件给定法向导数。
• 源项结构：点源、连续源和无源区域对应不同解法。

分离变量法把解写成乘积形式，例如

$$u(x,t)=X(x)T(t),$$

代回方程后把偏微分方程拆成若干常微分方程。它适合处理边界规则、对称性明确的问题。

4. Green 函数

Green 函数可以理解为“单位点源的响应”。若线性算符 $L$ 满足

$$LG(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })=\delta (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }),$$

则方程

$$Lu(\mathbf{r})=f(\mathbf{r})$$

的解可形式写成

$$u(\mathbf{r})=\int G(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })f({\mathbf{r}}^{\prime })\mathrm{d}{\mathbf{r}}^{\prime },$$

再加上由边界条件决定的项。静电学中的 Coulomb 势就是 Poisson 方程 Green 函数思想的典型例子。

5. 复变函数的作用

复变函数常用于处理积分、二维势场和波动问题。留数定理是最常用的工具之一：若函数 $f(z)$ 在闭合曲线 $C$ 内除有限个孤立奇点外解析，则

$${\oint }_{C}f(z)\mathrm{d}z=2\pi i\sum _k\mathrm{Res}(f,z_k).$$

它能把某些实积分转化为复平面上的围道积分，也能帮助分析频域响应函数的极点和稳定性。

复习提纲

• 先判断方程类型，再选择 Fourier 变换、分离变量、Green 函数或复变方法。
• 使用特殊函数时，关注它来自哪个坐标系、满足什么边界条件。
• 对线性问题，先求单位源响应，再通过叠加得到一般源项响应。
• 写解之前先写清楚区域、边界条件和初始条件，否则方程本身并不足以决定唯一解。