Kac-Moody 表示与 level

二维 CFT 和 WZW 模型中的当前代数是仿射 Lie 代数，也称 Kac-Moody 代数。它把有限维 Lie 代数扩展成带中心项的无限维代数。

1. 当前代数

电流模满足

$$[J_m^a,J_n^b]=i{f}^{abc}{J}_{m+n}^c+km{\delta }^{ab}{\delta }_{m+n,0}.$$

这里 $k$ 是 level，中心扩张项让表示论和谱结构都发生变化。

2. level 的意义

level 不是简单标签，而是量子理论中允许的整数参数。它决定可实现的表示、能动张量构造以及 WZW 模型的中心荷。

3. 最高权表示

和 Virasoro 类似，Kac-Moody 代数也有最高权表示。最高权态被正模电流湮灭，后代态由负模电流生成。可允许的最高权并不任意，而受 level 约束。

4. 与 WZW 的联系

WZW 模型的手征流正是这些当前代数的实现。通过 Sugawara 构造，可以从当前代数得到能动张量和中心荷。

5. 复习检查表

• 能写出 Kac-Moody 代数的中心扩张形式。
• 能说明 level 的物理意义。
• 能区分当前代数和普通 Lie 代数。
• 能解释最高权表示为何受 level 约束。
• 能把 Kac-Moody 代数和 WZW 模型联系起来。