Yang-Mills 与非 Abelian 规范场

非 Abelian 规范场是从 QED 走向标准模型和 QCD 的关键。它和 Abelian 理论的最大区别是：规范玻色子本身也携带规范荷，因此会发生自相互作用。

1. 从 Abelian 到非 Abelian

QED 的规范群是 $U(1)$，场强为

$$F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }.$$

非 Abelian 理论中，规范场带有群指标：

$$A_{\mu }=A_{\mu }^a{T}^a.$$

生成元满足

$$[T^a,T^b]=i{f}^{abc}{T}^c.$$

2. 协变导数与场强

非 Abelian 协变导数可写为

$$D_{\mu }={\partial }_{\mu }+ig{A}_{\mu }^a{T}^a.$$

场强来自协变导数对易子：

$$[D_{\mu },D_{\nu }]=ig{F}_{\mu \nu }^a{T}^a.$$

因此

$$F_{\mu \nu }^a={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }^a-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }^a-g{f}^{abc}{A}_{\mu }^b{A}_{\nu }^c.$$

最后一项是非 Abelian 理论特有的结构，它导致规范玻色子自相互作用。

3. Yang-Mills 拉氏量

纯规范场拉氏量为

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{YM}}=-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }^a{F}^{a\mu \nu }.$$

由于 $F_{\mu \nu }^a$ 含有 $AA$ 项，拉氏量中会自动出现三规范玻色子和四规范玻色子顶点。这是 QCD 和弱相互作用计算的重要来源。

4. 规范固定与 ghost

量子化规范场时，不能把规范冗余当成独立物理自由度积分。路径积分中需要规范固定。非 Abelian 理论还会出现 Faddeev-Popov ghost。ghost 不是外部物理粒子，但在圈图中保证规范不变性和幺正性。

5. QCD 作为例子

QCD 的规范群是

$$SU(3{)}_c.$$

夸克处在颜色基本表示中，胶子处在伴随表示中。由于胶子携带颜色，QCD 具有胶子自相互作用。它导致两个核心现象：

• 渐近自由：高能短距离下强耦合变小。
• 禁闭：低能长距离下夸克和胶子不作为孤立自由粒子出现。

6. 与标准模型的关系

标准模型中的强相互作用由 $SU(3{)}_c$ Yang-Mills 理论描述，弱相互作用来自 $SU(2{)}_L$ 规范结构，电磁相互作用则是电弱破缺后保留下来的 $U(1{)}_{\mathrm{em}}$。

因此非 Abelian 规范场是标准模型的骨架，而 QED 只是其中最简单的 Abelian 特例。

7. 复习检查表

• 能写出 Lie 代数 $[T^a,T^b]=i{f}^{abc}{T}^c$。
• 能从协变导数对易子得到非 Abelian 场强。
• 能说明为什么 Yang-Mills 理论有规范玻色子自相互作用。
• 能区分规范固定、ghost 和物理自由度。
• 能把 QCD、弱相互作用和标准模型规范群联系起来。