电动力学

电动力学把电场、磁场、电荷和电流放在统一框架里处理。课程主线通常是：先复习矢量分析，再讨论静电场和静磁场，随后进入 Maxwell 方程组，最后研究电磁波、边界条件、导体和谐振腔。

1. 数学准备：梯度、散度、旋度

电动力学的基本语言是矢量场。三个常用微分算符分别对应不同的物理含义：

• 梯度 $\nabla f$：标量场变化最快的方向。
• 散度 $\nabla \cdot \mathbf{A}$：场线在某点的源汇强度。
• 旋度 $\nabla \times \mathbf{A}$：场在某点的局部环流趋势。

两个重要积分定理是 Gauss 定理和 Stokes 定理：

$${\int }_V\nabla \cdot \mathbf{A}\mathrm{d}V={\oint }_{\partial V}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S},$$$${\int }_S(\nabla \times \mathbf{A})\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}={\oint }_{\partial S}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}.$$

它们把局域微分方程和整体积分规律联系起来。

2. Maxwell 方程组

在真空中，Maxwell 方程组为

$$\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0},\nabla \cdot \mathbf{B}=0,$$$$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.$$

这四个方程的物理意义可以概括为：

• 电荷是电场的源。
• 磁场没有磁单极源。
• 变化的磁场激发涡旋电场。
• 电流和变化的电场激发磁场。

最后一项

$${\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$

称为位移电流项。正是它让电磁场可以脱离电荷和电流源，以波的形式传播。

3. 静电场

静电场满足

$$\nabla \times \mathbf{E}=0.$$

无旋场可以写成标势的负梯度：

$$\mathbf{E}=-\nabla \phi .$$

代入 Gauss 定律得到 Poisson 方程：

$${\nabla }^2\phi =-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}.$$

在无电荷区域 $\rho =0$，方程退化为 Laplace 方程：

$${\nabla }^2\phi =0.$$

静电边值问题的核心是：在给定边界电势或边界电荷分布的情况下求解 $\phi$，再由 $\mathbf{E}=-\nabla \phi$ 得到电场。

4. 静电能量

连续电荷分布的静电能可写为

$$W=\frac{1}{2}\int \rho (\mathbf{r})\phi (\mathbf{r}){\mathrm{d}}^{3}r.$$

也可写成场能形式：

$$W=\frac{{\epsilon }_0}{2}\int E^2{\mathrm{d}}^{3}r.$$

第一种写法强调电荷之间的相互作用，第二种写法强调能量储存在电场中。两种观点在静电情形下等价。

5. 静磁场与矢势

静磁场满足

$$\nabla \cdot \mathbf{B}=0,\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}.$$

由于磁场无散，可以引入矢势：

$$\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}.$$

矢势不唯一。对任意标量函数 $\chi$，

$${\mathbf{A}}^{\prime }=\mathbf{A}+\nabla \chi$$

给出相同的 $\mathbf{B}$。这称为规范自由。常用 Coulomb 规范为

$$\nabla \cdot \mathbf{A}=0.$$

此时矢势满足

$${\nabla }^2\mathbf{A}=-{\mu }_0\mathbf{J}.$$

这与静电势的 Poisson 方程形式非常相似。

6. 介质中的电磁场

在介质中，常引入

$$\mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E},\mathbf{B}=\mu \mathbf{H}.$$

线性、均匀、各向同性介质中，Maxwell 方程可写为

$$\nabla \cdot \mathbf{D}={\rho }_f,\nabla \cdot \mathbf{B}=0,$$$$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},\nabla \times \mathbf{H}={\mathbf{J}}_f+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.$$

这里下标 $f$ 表示自由电荷和自由电流。束缚电荷与束缚电流的效应被吸收到介质参数中。

7. 电磁波

在无源真空中，$\rho =0,\mathbf{J}=0$。对 Faraday 定律取旋度：

$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=-\frac{\partial }{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B}).$$

利用

$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E})-{\nabla }^2\mathbf{E}$$

以及 $\nabla \cdot \mathbf{E}=0$，可得

$${\nabla }^2\mathbf{E}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0,c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}.$$

磁场同样满足

$${\nabla }^2\mathbf{B}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\mathbf{B}}{\partial t^2}=0.$$

平面波形式为

$$\mathbf{E}={\mathbf{E}}_0{e}^{i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t)},\omega =c|\mathbf{k}|.$$

Maxwell 方程进一步要求

$$\mathbf{k}\cdot {\mathbf{E}}_0=0,\mathbf{k}\cdot {\mathbf{B}}_0=0,$$

所以电磁波是横波，$\mathbf{E}$、$\mathbf{B}$ 和传播方向两两垂直。

8. 能量、动量与 Poynting 矢量

电磁场能量密度为

$$u=\frac{1}{2}\left({\epsilon }_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2\right).$$

能流密度由 Poynting 矢量给出：

$$\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}.$$

能量守恒关系可以写成

$$\frac{\partial u}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{S}=-\mathbf{J}\cdot \mathbf{E}.$$

右端表示电磁场对电荷做功的功率密度。

9. 边界条件

在介质分界面上，场量满足边界条件。设 $\mathbf{n}$ 从介质 1 指向介质 2，则

$$\mathbf{n}\cdot ({\mathbf{D}}_2-{\mathbf{D}}_1)={\sigma }_f,\mathbf{n}\cdot ({\mathbf{B}}_2-{\mathbf{B}}_1)=0,$$$$\mathbf{n}\times ({\mathbf{E}}_2-{\mathbf{E}}_1)=0,\mathbf{n}\times ({\mathbf{H}}_2-{\mathbf{H}}_1)={\mathbf{K}}_f.$$

其中 ${\sigma }_f$ 是自由面电荷密度，${\mathbf{K}}_f$ 是自由面电流密度。反射、折射、导体表面条件、波导和谐振腔问题都从这些边界条件开始。

10. 导体中的电磁波

在线性导体中，传导电流满足 Ohm 定律：

$$\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}.$$

当传导电流远大于位移电流时，

$$\sigma E\gg \omega \epsilon E,$$

导体可视为良导体。电磁波进入导体后振幅指数衰减，典型长度称为趋肤深度：

$$\delta =\sqrt{\frac{2}{\mu \sigma \omega }}.$$

频率越高、导电率越大，电磁波越难深入导体内部。

11. 复习问题

• 位移电流项为什么对电磁波存在至关重要？
• 静电势和静磁矢势的 Poisson 方程有什么类比？
• 为什么电磁波是横波？
• Poynting 矢量表示什么物理量？
• 理想导体边界上为什么切向电场为零？

12. 复习提纲

这门课的复习提纲已经并入正文。按考试常用顺序，建议这样回看：

向量分析 -> Maxwell 方程组 -> 静电势与边值问题 -> 磁矢势 -> 介质与边界条件 -> 电磁波 -> Poynting 矢量 -> 导体中的传播

最常见的错误不是不会写 Maxwell 方程，而是没先判断区域有没有源、应解 Poisson 还是 Laplace、法向连续的是 (D_n) 还是 (E_n)，以及镜像法只在物理区域内成立。