计算物理

计算物理关注如何把物理模型转化为可验证的数值过程。这里先整理数值微分、数值积分和时间演化的基本公式。

数值微分

中心差分具有二阶精度：

$$f^{\prime }(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}+O(h^2).$$

二阶导数可近似为

$$f^{\prime \prime }(x)\approx \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}+O(h^2).$$

数值积分

梯形公式为

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\approx \frac{h}{2}\left[f(a)+2\sum _{i=1}^{n-1}f(a+ih)+f(b)\right],$$

其中 $h=(b-a)/n$。Simpson 公式通常具有更高精度，但要求区间数为偶数。

时间演化

显式 Euler 方法写为

$$y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n).$$

它形式简单，但稳定性较弱。处理振动、轨道和波动问题时，常需要更稳定的 Verlet、Runge-Kutta 或辛算法。