SU(5) 表示分解与超荷嵌入

SU(5) 的吸引力在于：标准模型一代费米子的零散量子数可以从两个统一表示中分解出来。理解这个分解，比只背 $\bar{5}\oplus 10$ 更重要。

1. 子群嵌入

把 SU(5) 基本表示的前 3 个分量看作颜色方向，后 2 个分量看作弱同位旋方向，则有子群

$$SU(5)\supset SU(3{)}_c\times SU(2{)}_L\times U(1{)}_Y.$$

超荷生成元可取与

$$Y=\mathrm{diag}\left(-\frac{2}{3},-\frac{2}{3},-\frac{2}{3},1,1\right)$$

成比例的方向。它迹为零，因此可以嵌入 $SU(5)$。

2. $\bar{5}$ 的分解

反基本表示分解为

$$\bar{5}\to (\bar{3},1{)}_{2/3}\oplus (1,2{)}_{-1}.$$

这正好容纳 $d^c$ 和轻子双重态 $L=(\nu ,e{)}_L$。注意这里 $d^c$ 是左手反下夸克场，不是右手下夸克本身。

3. $10$ 的分解

$10$ 是两个基本指标的反对称表示。它分解为

$$10\to (3,2{)}_{1/3}\oplus (\bar{3},1{)}_{-4/3}\oplus (1,1{)}_2.$$

这三项分别对应 $Q_L$、$u^c$、$e^c$。因此一代最小 SU(5) 费米子刚好写成

$$\bar{5}\oplus 10.$$

4. 统一的意义与限制

这种嵌入解释了电荷量子化：超荷不是任意赋值，而是统一群生成元的投影。但它并不自动解释三代结构、Yukawa 层级和中微子质量，这些仍需要额外机制或扩展。

5. 复习检查表

• 能说明 SU(5) 中颜色和弱同位旋方向如何分块。
• 能写出超荷生成元的对角形式并检查迹为零。
• 能分解 $\bar{5}$ 并识别 $d^c$ 与 $L$。
• 能分解 $10$ 并识别 $Q_L,u^c,e^c$。
• 能说明电荷量子化和模型限制分别来自哪里。