Noether 定理与能动张量

Noether 定理是从拉氏量语言进入现代场论的核心桥梁：连续对称性给出守恒流，时空对称性给出能量、动量和角动量，内部相位对称性给出电荷。标准模型和 QFT 教材中的许多构造，本质上都是这条原则的反复使用。

1. 场的连续变换

设场发生无穷小变换

$${\varphi }_a(x)\to {\varphi }_a(x)+ϵ\Delta {\varphi }_a(x).$$

如果作用量在该变换下不变，或者拉氏量只差一个全导数，

$$\delta \mathcal{L}=ϵ{\partial }_{\mu }{K}^{\mu },$$

则存在守恒流。

2. Noether 流

对一组场 ${\varphi }_a$，Noether 流可写成

$$j^{\mu }=\sum _a\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }{\varphi }_a)}\Delta {\varphi }_a-K^{\mu }.$$

在运动方程成立时，守恒方程为

$${\partial }_{\mu }{j}^{\mu }=0.$$

守恒荷定义为

$$Q=\int d^{3}x{j}^0.$$

若边界通量消失，则 $Q$ 不随时间变化。

3. 平移对称性与能动张量

时空平移对应能量和动量守恒。canonical 能动张量常写为

$$T^{\mu }{}_{\nu }=\sum _a\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }{\varphi }_a)}{\partial }_{\nu }{\varphi }_a-{\delta }^{\mu }{}_{\nu }\mathcal{L}.$$

守恒方程为

$${\partial }_{\mu }{T}^{\mu }{}_{\nu }=0.$$

总四动量是

$$P_{\nu }=\int d^{3}x{T}^0{}_{\nu }.$$

不同教材会使用改进能动张量，使其对称或适合与引力耦合；这不改变物理守恒量，但会改变局域表达式。

4. 旋转与 Lorentz 对称性

空间旋转对应角动量守恒，完整 Lorentz 对称性给出角动量和 boost 生成元。场带自旋时，总角动量包含轨道部分和自旋部分。这个事实解释了为什么标量场、旋量场和矢量场的 Noether 流结构不完全一样。

5. 全局相位对称性与电荷

复标量场或 Dirac 场常有全局 $U(1)$ 对称性。以 Dirac 场为例，

$$\psi \to e^{i\alpha }\psi .$$

对应守恒流是

$$j^{\mu }=\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi .$$

它在 QED 中成为电磁流。局域化这个相位对称性，会迫使我们引入规范场和协变导数。

6. 全局对称性与规范冗余

全局对称性通常给出守恒荷；局域规范对称性更准确地说是描述冗余。规范理论中的 Ward identity、约束方程和 ghost 结构，都和这种冗余有关。复习时不要把“全局守恒律”和“局域规范自由度”混为一谈。

7. 检查表

• 能从拉氏量变化为全导数推出守恒流。
• 能写出 Noether 流和守恒荷。
• 能说明平移对称性给出能动张量。
• 能区分 canonical 能动张量和改进能动张量。
• 能解释全局 $U(1)$ 流如何变成 QED 中的电磁流。