模不变性与环面配分函数

二维 CFT 放在环面上时，几何由复结构参数 $\tau$ 描述。模不变性要求同一个环面在不同参数化下给出相同物理配分函数，是 CFT 和弦一圈一致性的重要约束。

1. 环面复结构

环面可以看作复平面对两个周期取商：

$$z\sim z+1,z\sim z+\tau .$$

模群 $SL(2,\mathbb{Z})$ 作用在 $\tau$ 上：

$$\tau \to \frac{a\tau +b}{c\tau +d},ad-bc=1.$$

常用生成元为

$$T:\tau \to \tau +1,S:\tau \to -\frac{1}{\tau }.$$

2. 配分函数

CFT 的环面配分函数写成

$$Z(\tau ,\bar{\tau })={\mathrm{Tr}}_{\mathcal{H}}\left(q^{L_0-c/24}{\bar{q}}^{{\bar{L}}_0-c/24}\right),q=e^{2\pi i\tau }.$$

迹对 Hilbert 空间求和，指数中的 $-c/24$ 来自圆柱和平面之间的共形变换。

3. 模不变性约束

一致的二维 CFT 通常要求

$$Z(\tau ,\bar{\tau })=Z\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d},\frac{a\bar{\tau }+b}{c\bar{\tau }+d}\right).$$

这会限制谱中允许的共形权重、简并度和左右移动部门的配对方式。对理性 CFT，配分函数可用有限多个特征标组合表示。

4. 弦论中的意义

弦论一圈振幅需要对环面模空间积分。模不变性避免对等价环面重复计数，并且与 UV/IR 行为相关。某些看似高能发散的区域会被模变换映到低能长管区域。

5. 复习检查表

• 能说明环面由 $1$ 和 $\tau$ 两个周期定义。
• 能写出模群对 $\tau$ 的分式线性变换。
• 能解释配分函数中的 $q^{L_0-c/24}$。
• 能说明模不变性如何约束谱。
• 能说出模不变性在弦一圈振幅中的作用。