QFT 路径积分与费曼图

这一页把 QFT 基础教材中反复出现的第一条主线改写成复习笔记：为什么路径积分能把量子力学推广到场，怎样从作用量得到传播子和顶点，以及 Feynman 图究竟在计算什么。

1. 从量子力学到场的路径积分

在量子力学中，传播振幅可以形式写成对所有路径的求和：

$$⟨x_f,t_f|x_i,t_i⟩=\int \mathcal{D}x(t)e^{iS[x]/\hslash }.$$

场论中，路径变量从粒子轨道 $x(t)$ 变为整个场构型 $\varphi (x)$：

$$Z=\int \mathcal{D}\varphi e^{iS[\varphi ]/\hslash }.$$

这里 $Z$ 不是普通积分，而是组织微扰展开和关联函数的生成对象。它的物理含义是：场的所有可能历史都参与振幅，作用量相位决定相干叠加方式。

2. 生成泛函与关联函数

为了从路径积分中取出关联函数，引入外源 $J(x)$：

$$Z[J]=\int \mathcal{D}\varphi \exp \left\{i\int d^{4}x[\mathcal{L}+J\varphi ]\right\}.$$

$n$ 点函数可由对 $J$ 的泛函导数得到：

$$⟨0|T\varphi (x_1)\cdots \varphi (x_n)|0⟩=\frac{1}{Z[0]}\frac{1}{i^n}\frac{{\delta }^{n}Z[J]}{\delta J(x_1)\cdots \delta J(x_n)}{|}_{J=0}.$$

这条公式说明 Feynman 图不是画图游戏，而是关联函数微扰展开的图形记账法。

3. 自由理论：传播子来自二次项

以实标量场为例，自由拉氏量为

$${\mathcal{L}}_0=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2.$$

二次型反演后得到 Feynman 传播子：

$${\Delta }_F(p)=\frac{i}{p^2-m^2+iϵ}.$$

传播子描述自由场从一个点传播到另一个点的振幅。$iϵ$ 指定边界条件，不能随意省略。

4. 相互作用：顶点来自高次项

若加入

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{int}}=-\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4,$$

则微扰展开中出现四条标量线相接的顶点，顶点因子为

$$-i\lambda .$$

一般规则是：二次项给传播子，高次局域项给顶点。微扰论把复杂关联函数展开为传播子和顶点的组合。

5. Feynman 图的计算对象

对散射问题，Feynman 图最终给出散射振幅 $\mathcal{M}$。典型流程是

$$\text{外线}\to \text{顶点}\to \text{内部传播子}\to \text{动量守恒}\to \mathcal{M}.$$

对于 $2\to 2$ 散射，常用 Mandelstam 变量：

$$s=(p_1+p_2{)}^2,t=(p_1-p_3{)}^2,u=(p_1-p_4{)}^2.$$

6. 正则量子化与路径积分的关系

正则量子化从场和共轭动量出发：

$$\pi (x)=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\varphi }(x)}.$$

再施加等时对易关系：

$$[\varphi (t,\mathbf{x}),\pi (t,\mathbf{y})]=i{\delta }^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y}).$$

路径积分和正则量子化在适当条件下给出等价结果。正则方法更清楚地展示 Hilbert 空间和算符结构，路径积分更适合处理对称性、规范固定和微扰展开。

7. 复习检查表

• 能从二次项读出传播子，从相互作用项读出顶点。
• 能解释 $Z[J]$ 和关联函数之间的关系。
• 能区分传播子、外线、顶点和整体动量守恒因子。
• 能说明路径积分不是概率积分，而是振幅的相干叠加。
• 能在 $s,t,u$ 变量和具体四动量之间转换。