高斯路径积分与生成泛函

这一页把“路径积分怎么真正算东西”单独拆出来。核心只有一条：自由理论的泛函积分是高斯积分，所有微扰展开、传播子和 Wick 收缩都从这里长出来。

1. 有限维高斯积分

先看有限维情形。若 (A) 是对称正定矩阵，则

$$\int d^{n}x\exp \left(-\frac{1}{2}{x}^{T}Ax+J^{T}x\right)=(2\pi {)}^{n/2}(\det A{)}^{-1/2}\exp \left(\frac{1}{2}{J}^T{A}^{-1}J\right).$$

这条公式的意义很直接：线性源 (J) 只会把指数里的二次型平移掉，不会改变高斯本身的结构。场论中的自由场就是这个公式的无限维版本。

2. 自由标量场的泛函积分

对自由实标量场，

$${\mathcal{L}}_0=\frac{1}{2}\varphi (\square +m^2-iϵ)\varphi +J\varphi$$

对应的生成泛函可写成

$$Z_0[J]=Z_0[0]\exp \left[\frac{i}{2}\int d^{4}x{d}^{4}yJ(x){\Delta }_F(x-y)J(y)\right].$$

其中 (\Delta_F) 是费曼传播子，满足

$$({\square }_x+m^2-iϵ){\Delta }_F(x-y)=-{\delta }^{(4)}(x-y).$$

所以，自由理论的两点函数本质上就是核 (\Delta_F) 的逆。

3. 生成泛函与相关函数

通过对源做泛函求导，可以直接取出时序相关函数：

$$⟨0|T\varphi (x_1)\cdots \varphi (x_n)|0⟩=\frac{1}{Z[0]}\frac{1}{i^n}\frac{{\delta }^{n}Z[J]}{\delta J(x_1)\cdots \delta J(x_n)}{|}_{J=0}.$$

若改用

$$W[J]=-i\ln Z[J],$$

则 (W[J]) 只生成连通图。这个区分很重要：(Z[J]) 管所有图，(W[J]) 管连通图，后续有效作用量则进一步把 1PI 图单独提出来。

4. Wick 定理的图像

自由理论里，四点函数分解为所有配对之和，例如

$$⟨T{\varphi }_1{\varphi }_2{\varphi }_3{\varphi }_4⟩={\Delta }_{12}{\Delta }_{34}+{\Delta }_{13}{\Delta }_{24}+{\Delta }_{14}{\Delta }_{23}.$$

这不是巧合，而是高斯积分的代数后果。微扰论中的每一条内部线，都是一次 Wick 收缩的图像化记账。

5. 一圈对数行列式

把作用量写成二次型，

$$S[\varphi ]=\frac{1}{2}\int \varphi K\varphi ,$$

则高斯积分给出

$$Z_0[0]\propto (\det K{)}^{-1/2}.$$

因此一圈量子修正通常会出现 (\log\det K) 结构。很多“真空能”“有效势”“一圈修正”的公式，本质上都来自这个行列式。

6. 复习检查

• 能写出有限维高斯积分的完整结果。
• 能说明自由场生成泛函为什么是指数二次型。
• 能从 (Z[J]) 和 (W[J]) 区分“全部图”和“连通图”。
• 能把 Wick 收缩和传播子联系起来。
• 能解释 (\det K) 为什么和一圈量子修正有关。