二维 CFT 关联函数与 Bootstrap 入门

二维 CFT 的强约束来自对称性。关联函数不是任意函数；两点和三点函数几乎由共形对称性固定，四点函数则引出 crossing 方程和 bootstrap 思想。

1. 两点函数

对一次场 ${\varphi }_i$，若左右权重为 $(h_i,{\bar{h}}_i)$，两点函数只有在权重匹配时非零：

$$⟨{\varphi }_i(z,\bar{z}){\varphi }_j(0,0)⟩=\frac{C_{ij}}{z^{2h_i}{\bar{z}}^{2{\bar{h}}_i}}.$$

这体现了平移、旋转、缩放和特殊共形变换的共同约束。

2. 三点函数

三点函数形式也被固定到常数系数：

$$⟨{\varphi }_1(z_1){\varphi }_2(z_2){\varphi }_3(z_3)⟩=\frac{C_{123}}{z_{12}^{h_1+h_2-h_3}{z}_{23}^{h_2+h_3-h_1}{z}_{13}^{h_1+h_3-h_2}}$$

其中反全纯部分有类似因子。动力学信息主要藏在 OPE 系数 $C_{123}$ 中。

3. OPE 与四点函数

算符乘积展开写成

$${\varphi }_i(z){\varphi }_j(0)=\sum _k{C}_{ij}^k{z}^{h_k-h_i-h_j}{\varphi }_k(0)+\cdots .$$

四点函数可以先融合 $(12)$，也可以先融合 $(14)$。两种展开必须给出同一个函数，这就是 crossing 对称性。

4. Bootstrap 方程

抽象地说，四点函数可写成共形块展开：

$$\mathcal{G}(z,\bar{z})=\sum _{\mathcal{O}}{C}_{12\mathcal{O}}{C}_{34\mathcal{O}}{\mathcal{F}}_{\mathcal{O}}(z){\bar{\mathcal{F}}}_{\mathcal{O}}(\bar{z}).$$

Bootstrap 的目标是利用 crossing、幺正性和谱假设，反推出允许的共形维数和 OPE 系数。二维情形由于 Virasoro 对称性更强，约束也更细。

5. 复习检查表

• 能写出一次场两点函数的幂律形式。
• 能说明三点函数中哪些是对称性固定的，哪些是动力学数据。
• 能解释 OPE 如何把局域乘积转化为算符求和。
• 能说明 crossing 对称性来自不同融合通道的一致性。
• 能把谱、OPE 系数和共形块看作 bootstrap 的基本输入。