Sigma 模型与重整化群

Sigma 模型研究的是从时空或世界面到目标空间的映射。它在粒子物理中可描述 Goldstone 低能有效理论，在弦论中则把弦的世界面场论和目标空间几何联系起来。

1. 非线性 Sigma 模型

二维世界面上的基本形式可写成

$$S=\frac{1}{4\pi {\alpha }^{\prime }}\int d^2\sigma \sqrt{h}{h}^{ab}{G}_{ij}(X){\partial }_a{X}^i{\partial }_b{X}^j.$$

这里 $X^i(\sigma )$ 是到目标空间的坐标场，$G_{ij}(X)$ 是目标空间度规。也就是说，耦合常数本身可以是一组几何数据。

2. RG 与目标空间几何

量子修正会让 $G_{ij}$ 随能标流动。一圈近似下，beta 函数的主项与 Ricci 张量有关：

$${\beta }_{ij}^G={\alpha }^{\prime }{R}_{ij}+O({\alpha }^{\prime 2}).$$

若要求二维理论保持共形不变性，就要令 beta 函数消失。最低阶条件近似为

$$R_{ij}=0.$$

这给出一个重要直觉：弦的世界面量子一致性会约束目标空间满足类似引力场方程的条件。

3. O(N) 模型的渐近自由

另一个常见例子是二维 $O(N)$ 非线性 Sigma 模型。其耦合 $g$ 的一圈 beta 函数为

$$\beta (g)=-\frac{N-2}{2\pi }{g}^2+O(g^3).$$

当 $N>2$ 时，高能下耦合变弱，表现出类似 QCD 的渐近自由。这说明“非 Abelian 结构导致高能弱耦合”的现象不只出现在四维规范理论中。

4. 复习检查表

• 能说明 Sigma 模型的场是到目标空间的映射。
• 能解释目标空间度规为什么可被看作耦合。
• 能写出 ${\beta }_{ij}^G$ 与 $R_{ij}$ 的最低阶关系。
• 能说明共形不变性为什么会限制背景几何。
• 能比较二维 $O(N)$ 模型和 QCD 的渐近自由。