弦世界面量子化与临界维数

弦论把点粒子的世界线推广为二维世界面。量子化的关键是：世界面理论必须保持规范一致性和共形不变性，这会反过来限制目标空间维数和允许的谱。

1. Polyakov 作用量

玻色弦的 Polyakov 作用量为

$$S=-\frac{1}{4\pi {\alpha }^{\prime }}\int d^2\sigma \sqrt{-h}{h}^{ab}{\partial }_a{X}^{\mu }{\partial }_b{X}_{\mu }.$$

这里 $X^{\mu }(\sigma )$ 是从世界面到目标空间的嵌入，$h_{ab}$ 是世界面度规。这个形式显式具有二维微分同胚和 Weyl 对称性。

2. 共形规范与约束

选取共形规范后，局部自由度简化为二维自由场，但仍需满足能动张量约束：

$$T_{ab}=0.$$

在复坐标中，这对应

$$T(z)=0,\bar{T}(\bar{z})=0.$$

量子理论中这些条件变成 Virasoro 约束，用来筛掉非物理态。

3. 模展开与质量公式

闭弦坐标可以分解为左、右移动模。谱中出现振子数 $N,\bar{N}$，质量大致由

$$M^2\sim \frac{4}{{\alpha }^{\prime }}(N-a)$$

这类公式控制，其中 $a$ 是正常序常数。不同边界条件和开闭弦结构会改变具体系数。

4. 临界维数

量子化引入 ghost 系统。玻色坐标场贡献中心荷 $c_X=D$，ghost 贡献

$$c_{gh}=-26.$$

要求总中心荷抵消，得到

$$D-26=0.$$

因此玻色弦的临界维数为 $D=26$。超弦中世界面费米子和超 ghost 改变中心荷计数，临界维数变为 $D=10$。

5. 复习检查表

• 能写出 Polyakov 作用量并说明其中两个场的含义。
• 能解释共形规范之后为什么仍有 Virasoro 约束。
• 能说明振子模如何产生弦谱。
• 能用中心荷抵消理解玻色弦临界维数。
• 能区分玻色弦和超弦的临界维数来源。