Lorentz 群与旋量笔记

这页整理 QFT 和标准模型书籍中反复出现的前置语言：Lorentz 变换、Poincare 群、Dirac 旋量、Weyl 旋量和守恒流。它的目标是让后续 Dirac 场、SUSY 和标准模型手征结构不再只是符号堆叠。

1. Lorentz 变换

Lorentz 变换保持 Minkowski 间隔不变：

$$x^{\prime \mu }={\Lambda }^{\mu }{}_{\nu }{x}^{\nu },{\eta }_{\rho \sigma }{\Lambda }^{\rho }{}_{\mu }{\Lambda }^{\sigma }{}_{\nu }={\eta }_{\mu \nu }.$$

它保证

$$s^2={\eta }_{\mu \nu }{x}^{\mu }{x}^{\nu }$$

在不同惯性系中相同。QFT 中场的分类，本质上就是研究场如何在 Lorentz 变换下变化。

2. Poincare 群

Poincare 群包含 Lorentz 变换和平移。它的生成元包括四动量 $P^{\mu }$ 和 Lorentz 生成元 $M^{\mu \nu }$。粒子态可由质量和自旋标记，对应两个 Casimir 量：

$$P^2=m^2,$$

以及 Pauli-Lubanski 向量构造出的自旋量。实际学习中可以先记住结论：相对论粒子按质量和自旋分类。

3. Dirac 旋量

Dirac 方程为

$$(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi =0.$$

Dirac 矩阵满足 Clifford 代数：

$$\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}=2{\eta }^{\mu \nu }.$$

Dirac 共轭定义为

$$\bar{\psi }={\psi }^{†}{\gamma }^0.$$

这样可以构造 Lorentz 标量

$$\bar{\psi }\psi$$

和矢量流

$$j^{\mu }=\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi .$$

4. Weyl 与 Majorana 旋量

Weyl 旋量描述确定手征性的二分量对象。标准模型中弱相互作用对左手和右手场的处理不同，因此 Weyl 语言非常自然。

Majorana 旋量满足粒子与反粒子相同的实条件。是否能写 Majorana 质量项，取决于场的规范量子数。中微子质量问题中经常出现这一点。

5. 手征投影

定义

$${\gamma }^5=i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3.$$

左右手投影算符为

$$P_L=\frac{1-{\gamma }^5}{2},P_R=\frac{1+{\gamma }^5}{2}.$$

于是

$${\psi }_L=P_L\psi ,{\psi }_R=P_R\psi .$$

标准模型的弱相互作用只把左手费米子放进 $SU(2{)}_L$ 双重态，这是它具有手征结构的核心。

6. 常见双线性量

Dirac 双线性量按 Lorentz 变换性质分类：

形式	类型
$\bar{\psi }\psi$	标量
$\bar{\psi }i{\gamma }^5\psi$	赝标量
$\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi$	矢量
$\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^5\psi$	轴矢量
$\bar{\psi }{\sigma }^{\mu \nu }\psi$	张量

它们用于构造相互作用项、有效算符和对称性分析。

7. 复习检查表

• 能写出 Lorentz 变换保持度规不变的条件。
• 能说明 Poincare 群为什么用于分类相对论粒子。
• 能写出 Dirac 方程、Clifford 代数和 Dirac 共轭。
• 能区分 Dirac、Weyl、Majorana 旋量的用途。
• 能用 $P_L,P_R$ 解释标准模型的手征结构。