CFT 与弦论导读

这一页根据数学物理取向的 QFT/Strings 资料整理。它不是弦论教程，而是说明共形场论、Virasoro 代数、sigma model 和弦论之间怎样组成一条后续阅读路线。

1. 为什么 CFT 是特殊的 QFT

共形场论不仅具有平移、旋转和尺度对称性，还在局域角度保持更强的共形对称性。二维 CFT 尤其强大，因为局域共形变换形成无限维代数。

CFT 的基本数据通常包括：

• 场或算符的谱。
• 共形维数。
• OPE 系数。
• 关联函数和 Ward identity。

2. Ward identity 与能动张量

CFT 中能动张量 $T_{\mu \nu }$ 编码对称性。二维复坐标下常关注全纯分量 $T(z)$。它和局域算符的 OPE 决定算符如何在共形变换下变化。

典型结构是

$$T(z)\mathcal{O}(w)\sim \frac{h\mathcal{O}(w)}{(z-w{)}^2}+\frac{\partial \mathcal{O}(w)}{z-w}+\cdots .$$

这里 $h$ 是全纯共形维数。

3. Virasoro 代数

二维 CFT 的局域共形对称性由 Virasoro 代数组织：

$$[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac{c}{12}m(m^2-1){\delta }_{m+n,0}.$$

$c$ 是中心荷。最高权表示、primary field 和 descendant state 是后续阅读的基础语言。

4. Sigma model

弦论世界面理论常可写成 sigma model。最粗略地说，它描述从二维世界面到目标空间的映射：

$$X:\Sigma \to M.$$

作用量的典型结构包含目标空间度规 $G_{ij}(X)$：

$$S\sim {\int }_{\Sigma }{d}^2\sigma G_{ij}(X){\partial }_a{X}^i{\partial }^a{X}^j.$$

量子化 sigma model 后，重整化群方程会与目标空间几何发生联系。这也是 CFT、弦论和几何之间的重要桥梁。

5. WZW model 与仿射对称性

Wess-Zumino-Witten 模型是二维 CFT 中的重要例子。它具有比普通全局群对称性更强的 current algebra。学习它需要先掌握：

• Lie 群和 Lie 代数。
• Noether 流。
• OPE。
• Kac-Moody 代数。

第一轮只需知道：WZW 模型把群流形、拓扑项和二维共形对称性联系在一起。

6. 弦论入口

弦论把基本对象从点粒子换成一维弦。量子弦的世界面理论通常要求共形不变性，因此二维 CFT 成为弦论的基础工具。

阅读路线可以写成：

$$\text{二维场论}\to \text{CFT}\to \text{Virasoro 表示}\to \text{sigma model}\to \text{弦世界面}.$$

这条路线比普通 QFT 更数学化，适合作为第二轮或专题拓展。

7. 复习检查表

• 能说明 CFT 相比普通 QFT 多了什么对称性。
• 能解释 primary field、共形维数和 OPE 的作用。
• 能写出 Virasoro 代数并说明中心荷的意义。
• 能说明 sigma model 描述从世界面到目标空间的映射。
• 能把 CFT 与弦论世界面理论联系起来。