维数正规化与 MS-bar 方案

环图积分通常含有紫外发散。维数正规化通过把时空维数连续延拓到 $d=4-2ϵ$，把发散表现为 $1/ϵ$ 极点，是现代微扰 QFT 的标准工具。

1. 基本思想

典型发散积分在四维中没有良好定义。维数正规化把积分写成

$$\int \frac{d^{4}k}{(2\pi {)}^4}⟶{\mu }^{2ϵ}\int \frac{d^{d}k}{(2\pi {)}^d},d=4-2ϵ.$$

尺度 $\mu$ 用来保持耦合常数的工程维数不变。

2. 极点结构

正规化后的环图常出现形式

$$I=A\left(\frac{1}{ϵ}+\ln \frac{{\mu }^2}{m^2}+\text{finite}\right).$$

发散被编码在 $1/ϵ$ 中。重整化的任务是用反项吸收这些极点，并把有限部分按方案定义清楚。

3. MS 与 MS-bar

MS 方案只减去 $1/ϵ$ 极点。MS-bar 方案还同时减去常见常数

$$\frac{1}{ϵ}-{\gamma }_E+\ln 4\pi .$$

MS-bar 的优点是公式更简洁，beta 函数和反常维数通常以该方案给出。

4. 跑动耦合

裸耦合不依赖重整化尺度，重整化耦合依赖 $\mu$。这一事实导出重整化群方程：

$$\mu \frac{dg}{d\mu }=\beta (g).$$

因此正规化不是纯粹的技术步骤，它直接揭示了耦合随能标变化的结构。

5. 复习检查表

• 能说明为什么把维数写成 $d=4-2ϵ$。
• 能解释 $\mu$ 的作用。
• 能识别环图中的 $1/ϵ$ 极点。
• 能区分 MS 和 MS-bar 的减法内容。
• 能把重整化尺度依赖和 beta 函数联系起来。