Virasoro 表示与共形族

Virasoro 代数不仅给出二维 CFT 的对称性，也组织了态空间。一次场、最高权态、后代态和 null state 构成共形族，是计算谱和关联函数的基本语言。

1. 最高权态

最高权态 $|h⟩$ 满足

$$L_0|h⟩=h|h⟩,L_n|h⟩=0(n>0).$$

这里 $h$ 是全纯共形权重。反全纯部分有类似的 $\bar{h}$，完整局域场通常标记为 $(h,\bar{h})$。

2. 后代态与 level

用负模生成元作用可得到后代态：

$$L_{-n_1}{L}_{-n_2}\cdots L_{-n_k}|h⟩.$$

level 定义为

$$N=n_1+n_2+\cdots +n_k.$$

同一个最高权态及其全部后代构成一个 Verma 模。共形族对应一次场和它的所有导数型后代。

3. Null state

有些后代态范数为零，并且与所有物理态正交，称为 null state。若把 null state 商掉，表示会变小，关联函数也会满足额外微分方程。

最小模型之所以可解，关键就在于存在足够多的 null state，使谱和 OPE 系数受到强约束。

4. 特征标

一个表示的态数可用特征标记录：

$${\chi }_h(q)={\mathrm{Tr}}_{{\mathcal{V}}_h}{q}^{L_0-c/24}.$$

特征标是构造环面配分函数和研究模变换的基本模块。

5. 复习检查表

• 能写出最高权态条件。
• 能说明后代态和 level 的含义。
• 能区分 Verma 模和商掉 null state 后的不可约表示。
• 能解释共形族如何由一次场生成。
• 能说明特征标为什么与环面配分函数相关。