固体物理

固体物理研究大量原子、离子和电子在凝聚态材料中的集体行为。它和普通力学、电磁学最大的差别在于：研究对象不再是少数自由度，而是 $10^{23}$ 量级粒子的周期结构、相互作用和激发。课件的主线可以整理为四层：

1. 晶体结构：怎样描述原子在空间中的周期排列。
2. 倒格子：怎样在波矢空间描述周期性。
3. 衍射与布里渊区：怎样用实验和几何语言识别结构。
4. 晶体结合：为什么这些结构能够稳定存在。

1. 固体物理的基本问题

固体由大量原子和电子组成，但宏观性质并不只由“成分”决定。石墨、金刚石和富勒烯都由碳元素组成，却表现出完全不同的硬度、导电性和热学性质。这说明固体的性质主要由两类因素共同决定：

• 组成粒子的种类；
• 粒子的空间排列与相互作用方式。

所以固体物理第一步不是直接讨论导电、导热或磁性，而是先建立晶体结构的语言。

2. 晶格、基元与晶体结构

理想晶体具有长程周期性。若 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,{\mathbf{a}}_3$ 是三个不共面的平移基矢，则所有等价格点的位置可写为

$$\mathbf{R}=n_1{\mathbf{a}}_1+n_2{\mathbf{a}}_2+n_3{\mathbf{a}}_3,n_1,n_2,n_3\in \mathbb{Z}.$$

这组点构成晶格。晶体结构则是晶格与基元的组合：

$$\text{晶体结构}=\text{晶格}+\text{基元}.$$

基元可以是一个原子，也可以是多个原子。简单晶体中基元只含一个等价原子；复式晶体中基元含多个原子，或者同种原子处在几何上不等价的位置。

容易混淆的是“原胞”和“单胞”：

• 原胞是体积最小的周期单元，只含一个格点，但选取不唯一。
• 单胞通常为了体现晶体对称性而选取，体积可能大于原胞。
• Wigner-Seitz 原胞由某格点到邻近格点连线的垂直平分面围成，对称性较好。

3. 常见立方晶格

三种立方晶格最常见：

类型	常规单胞中的格点	特征
简单立方 SC	顶点	结构直观，但实际元素晶体中少见
体心立方 BCC	顶点 + 体心	Li、Na、K、Fe 等常见
面心立方 FCC	顶点 + 面心	Cu、Ag、Au、Al 等常见

注意常规单胞中的“点数”需要按共享比例计算。例如面心立方常规单胞中，8 个顶点贡献 $8\times \frac{1}{8}=1$ 个格点，6 个面心贡献 $6\times \frac{1}{2}=3$ 个格点，所以共有 4 个格点。

配位数描述一个原子最近邻原子的数量。它反映原子堆积的紧密程度，也是理解金属结构、密堆积和结合能的重要量。

4. 晶向、晶面与 Miller 指数

晶向用方括号表示，如 $[hkl]$；晶面用圆括号表示，如 $(hkl)$。在立方晶系中，$(hkl)$ 晶面的面间距为

$$d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}},$$

其中 $a$ 为晶格常数。这个公式在 X 射线衍射中非常常用，因为实验测得衍射角后，可以通过 Bragg 公式求出 $d_{hkl}$，再反推出晶体结构。

等效晶向和等效晶面常用尖括号与花括号表示：

$$⟨100⟩,\{111\}.$$

这表示一组由晶体对称性联系起来、物理性质等价的方向或晶面。

5. 倒格子

正格子描述实空间周期性，倒格子描述波矢空间周期性。倒格子基矢定义为

$${\mathbf{b}}_1=2\pi \frac{{\mathbf{a}}_2\times {\mathbf{a}}_3}{{\mathbf{a}}_1\cdot ({\mathbf{a}}_2\times {\mathbf{a}}_3)},$$

并循环得到 ${\mathbf{b}}_2,{\mathbf{b}}_3$。它们满足

$${\mathbf{a}}_i\cdot {\mathbf{b}}_j=2\pi {\delta }_{ij}.$$

任意倒格矢为

$$\mathbf{G}=h{\mathbf{b}}_1+k{\mathbf{b}}_2+l{\mathbf{b}}_3.$$

倒格子的意义在于：晶体中的周期函数可以展开为 Fourier 级数

$$V(\mathbf{r})=\sum _{\mathbf{G}}{V}_{\mathbf{G}}{e}^{i\mathbf{G}\cdot \mathbf{r}}.$$

所以电子在周期势中的运动、晶体衍射条件、布里渊区划分，都会自然落到倒格子空间中。

6. 布里渊区

第一布里渊区是倒格子空间中的 Wigner-Seitz 原胞。它由倒格子原点与邻近倒格点连线的垂直平分面围成。

布里渊区的物理意义是：在周期势中，波矢相差一个倒格矢的平面波具有等价的晶体动量关系：

$${\mathbf{k}}^{\prime }=\mathbf{k}+\mathbf{G}.$$

因此电子能带通常只需在第一布里渊区内讨论。高对称点和高对称路径则用于画能带图，比如简单立方、体心立方、面心立方各自有不同的第一布里渊区形状。

7. 晶体衍射

X 射线、电子和中子都可用于晶体衍射。Bragg 公式为

$$2d\sin \theta =n\lambda .$$

它来自相邻晶面对波的反射光程差为波长整数倍的条件。用波矢语言，Laue 条件写为

$${\mathbf{k}}^{\prime }-\mathbf{k}=\mathbf{G}.$$

两者是同一物理条件的不同表达：

• Bragg 公式适合理解几何反射；
• Laue 条件适合倒格子和波矢分析。

如果入射波长与晶格常数同量级，就可能出现明显衍射。这也是 X 射线适合研究晶体结构的原因。

8. 晶体结合

晶体稳定存在，是因为分散原子结合成晶体后总能量降低。结合能可理解为

$$E_b=E_{\text{isolated atoms}}-E_{\text{crystal}}.$$

常见结合类型包括：

• 离子结合：正负离子间 Coulomb 吸引为主，如 NaCl。
• 共价结合：价电子共享形成方向性强的键，如金刚石。
• 金属结合：价电子离域化，形成共有电子气。
• 范德瓦尔斯结合：瞬时偶极作用导致的弱结合。
• 氢键：有方向性，强度介于范德瓦尔斯作用和典型共价键之间。

离子晶体中常用一个吸引项与排斥项组成的势能模型：

$$U(r)=-\frac{\alpha e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}+\frac{B}{r^n}.$$

第一项是 Madelung 吸引能，第二项表示短程排斥。平衡距离由

$$\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}r}=0$$

确定。

9. 复习问题

• 为什么晶体结构不能只由化学成分决定？
• 原胞、单胞、Wigner-Seitz 原胞有什么区别？
• 为什么倒格子基矢要满足 ${\mathbf{a}}_i\cdot {\mathbf{b}}_j=2\pi {\delta }_{ij}$？
• Bragg 公式与 Laue 条件如何互相转化？
• 面心立方和体心立方的倒格子分别是什么？

10. 复习提纲

• 先用晶格语言写出周期结构，再区分晶格、基元、原胞和常规单胞。
• 倒格子三步：写 ${\mathbf{b}}_i$，再写 $\mathbf{G}$，最后连到晶面间距公式，别漏掉 $2\pi$。
• Bragg 公式和 Laue 条件是同一件物理的两种写法。
• 晶面题要注意截距、倒数和最小整数化；面心/体心立方要记住格点数和对应倒格子。
• 声子、热容、电子论和能带题常连在一起，答题时尽量用同一套物理图像串起来。