Higgs 机制与电弱破缺

Higgs 机制解释了标准模型中弱规范玻色子和费米子如何获得质量，同时保留光子无质量。它不是简单地“加入质量项”，而是通过自发对称性破缺在规范不变框架内生成质量。

1. Higgs 势

标准模型的 Higgs 场是 $SU(2{)}_L$ 双重态。势能常写为

$$V(H)=-{\mu }^2{H}^{†}H+\lambda (H^{†}H{)}^2.$$

当 ${\mu }^2>0$ 且 $\lambda >0$ 时，真空不在 $H=0$，而满足

$$⟨H⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}0\\ v\end{array}\right).$$

这里 $v$ 是电弱真空期望值。

2. 对称性破缺链

Higgs 真空选择使

$$SU(2{)}_L\times U(1{)}_Y\to U(1{)}_{\mathrm{em}}.$$

剩下的 $U(1{)}_{\mathrm{em}}$ 对应电磁相互作用，因此光子保持无质量。被破缺的生成元对应的自由度成为 $W^{\pm }$ 和 $Z$ 的纵向偏振。

3. 规范玻色子质量

Higgs 动能项为

$$(D_{\mu }H{)}^{†}(D^{\mu }H).$$

把真空期望值代入后，得到规范玻色子质量项。标准结果包括

$$m_W=\frac{gv}{2},m_Z=\frac{\sqrt{g^2+g^{\prime 2}}v}{2}.$$

光子对应未破缺的组合，因此

$$m_{\gamma }=0.$$

4. Weinberg 角

电弱混合通常用 Weinberg 角描述：

$$\tan {\theta }_W=\frac{g^{\prime }}{g}.$$

物理场 $A_{\mu }$ 和 $Z_{\mu }$ 是原始 $W_{\mu }^3$ 与 $B_{\mu }$ 的线性组合。电荷满足

$$e=g\sin {\theta }_W=g^{\prime }\cos {\theta }_W.$$

5. 费米子质量

费米子质量来自 Yukawa 耦合。以电子为例，

$${\mathcal{L}}_Y=-y_e\bar{L}H{e}_R+\text{h.c.}$$

Higgs 获得真空期望值后，得到

$$m_e=\frac{y_{e}v}{\sqrt{2}}.$$

不同费米子的质量差异对应不同 Yukawa 耦合。标准模型本身不解释这些耦合为什么取这些数值。

6. 检查表

• 能写出 Higgs 势并说明非零真空期望值的来源。
• 能写出电弱破缺链。
• 能说明为什么 $W,Z$ 有质量而光子无质量。
• 能写出 $m_W,m_Z$ 与 $v,g,g^{\prime }$ 的关系。
• 能解释 Yukawa 耦合如何给费米子质量。