量子场论入门

量子场论把“粒子”理解为场的量子激发。相比单粒子量子力学，它的起点不是某个固定粒子数的波函数，而是一组满足相对论协变性、局域性和对称性要求的场。自由场给出粒子的传播，相互作用项给出粒子之间的转化和散射。

一条最短学习路线可以写成：

$$\text{拉氏量}\to \text{运动方程}\to \text{传播子与外线}\to \text{费曼规则}\to \text{散射振幅}.$$

1. 为什么需要场论

相对论要求能量和动量满足

$$E^2={\mathbf{p}}^2+m^2,$$

这意味着粒子的产生和湮灭不能再被当作外加过程。场论用场算符统一描述不同粒子数的态：产生算符创建一个量子，湮灭算符移除一个量子。这样才能自然处理散射、衰变、反粒子和相互作用。

2. 自由标量场

实标量场 $\varphi (x)$ 不带自旋指标，适合描述自旋为 $0$ 的自由粒子。最常用的自由拉氏量是

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }^{\mu }\varphi {\partial }_{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2.$$

场论的 Euler-Lagrange 方程为

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi }-{\partial }_{\mu }\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\varphi )}\right)=0.$$

代入自由标量场拉氏量后得到 Klein-Gordon 方程：

$$(\square +m^2)\varphi =0,\square ={\partial }^{\mu }{\partial }_{\mu }.$$

量子化后，每个 Fourier 模类似一个谐振子；动量为 $\mathbf{p}$ 的激发对应一个标量粒子。这里最容易出错的是度规号差和 $\square$ 的符号，所以同一份笔记里必须保持约定一致。

3. Dirac 费米子场

自旋 $1/2$ 粒子由 Dirac 场 $\psi (x)$ 描述。Dirac 共轭定义为

$$\bar{\psi }={\psi }^{†}{\gamma }^0.$$

自由 Dirac 拉氏量为

$$\mathcal{L}=\bar{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi ,$$

运动方程是

$$(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi =0.$$

Dirac 矩阵满足反对易关系

$$\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}=2g^{\mu \nu }.$$

费米子量子化时要使用反对易关系。这样既保证能量结构合理，也体现 Pauli 不相容原理。全局 $U(1)$ 相位变换

$$\psi \to e^{i\alpha }\psi$$

对应守恒流

$$j^{\mu }=\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi ,{\partial }_{\mu }{j}^{\mu }=0.$$

4. 规范场与电磁场

电磁场可写成 Abelian $U(1)$ 规范场 $A_{\mu }$。场强张量定义为

$$F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }.$$

自由电磁场拉氏量是

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{EM}}=-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }.$$

它在规范变换下不变：

$$A_{\mu }\to A_{\mu }+{\partial }_{\mu }\Lambda (x).$$

规范自由度不是新的物理偏振。无质量光子只有两个横向物理偏振；传播子的具体形式依赖规范选择，但可观测量不应依赖规范。Feynman 规范下常用光子传播子写作

$$D^{\mu \nu }(p)=\frac{-i{g}^{\mu \nu }}{p^2+iϵ}.$$

5. Noether 定理

Noether 定理连接连续对称性和守恒律。若场的无穷小变换为

$${\varphi }_a\to {\varphi }_a+ϵ\Delta {\varphi }_a,$$

且拉氏量变化只是全导数

$$\delta \mathcal{L}=ϵ{\partial }_{\mu }{K}^{\mu },$$

则守恒流可写为

$$j^{\mu }=\sum _a\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }{\varphi }_a)}\Delta {\varphi }_a-K^{\mu }.$$

守恒方程是

$${\partial }_{\mu }{j}^{\mu }=0.$$

时空平移对应能量和动量守恒，空间旋转对应角动量守恒，全局相位对称性对应电荷守恒。规范对称性更像描述中的冗余约束，不能简单等同于普通全局对称性的守恒荷。

6. 相互作用与 Feynman 规则

相互作用通常写成拉氏量中的局域项。常见例子包括

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{int}}=-\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4,$$$${\mathcal{L}}_{\mathrm{int}}=-g\bar{\psi }\psi \varphi ,$$$${\mathcal{L}}_{\mathrm{int}}=-e\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }{A}_{\mu }\psi .$$

它们分别给出典型顶点因子

$${\varphi }^4:-i\lambda ,\text{Yukawa}:-ig,\text{QED}:-ie{\gamma }^{\mu }.$$

传播子来自自由二次项的反演。例如标量传播子常写为

$${\Delta }_F(p)=\frac{i}{p^2-m^2+iϵ},$$

Dirac 传播子为

$$S_F(p)=\frac{i(/p+m)}{p^2-m^2+iϵ}.$$

微扰论的工作方式是：用传播子连起顶点，按动量守恒、外线因子、自旋或极化求和、对称因子等规则组装散射振幅。

7. ${\varphi }^4$ 树级散射

在 $\lambda {\varphi }^4$ 理论中，两个标量粒子到两个标量粒子的树级散射只需要一个四点顶点。若相互作用项写作

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{int}}=-\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4,$$

则四点顶点因子为

$$-i\lambda .$$

去掉整体四维动量守恒因子后，树级振幅只由这个局域顶点给出。不同教材会在 $i\mathcal{M}$ 或 $-i\mathcal{M}$ 的约定上有差别，因此符号需要和课程约定统一；但截面中的核心依赖通常来自

$$|\mathcal{M}{|}^2\propto {\lambda }^2.$$

这个例子是从拉氏量走到散射振幅的最短闭环。它也提醒我们：树图建立直觉，圈图才会引入紫外发散、正则化和重整化。

8. 复习提纲

• 先分清场的类型：标量场、旋量场、规范场对应不同自由度和传播子。
• 写运动方程时从场论 Euler-Lagrange 方程出发，不要把场当作普通坐标函数。
• 使用 Noether 定理时说明是全局对称性、局部规范冗余，还是时空对称性。
• 写 Feynman 规则时统一拉氏量号差、Fourier 变换、传播子 $iϵ$ 和振幅约定。
• 计算散射时按“外线、顶点、传播子、动量守恒、对称因子、相空间”的顺序检查。