量子力学

量子力学的核心变化是：状态不再由经典轨道描述，而由波函数或态矢量描述；力学量不再是普通函数，而由算符表示；测量结果来自算符的本征值。课件内容可整理为五条主线：波函数、Schrodinger 方程、算符与表象、中心力场与氢原子、Dirac 符号与谐振子。

1. 波函数与概率解释

在坐标表象中，单粒子状态由波函数

$$\psi (\mathbf{r},t)$$

描述。Born 解释认为

$$|\psi (\mathbf{r},t){|}^2$$

是粒子在 $\mathbf{r}$ 附近出现的概率密度。因此归一化条件为

$${\int }_{{\mathbb{R}}^3}|\psi (\mathbf{r},t){|}^2{\mathrm{d}}^{3}r=1.$$

归一化不是形式要求，而是概率解释能够成立的前提。如果波函数只差一个整体相位，

$${\psi }^{\prime }(\mathbf{r},t)=e^{i\alpha }\psi (\mathbf{r},t),$$

则两者给出相同的概率密度，描述同一物理状态。

2. Schrodinger 方程

非相对论量子力学的动力学由 Schrodinger 方程给出：

$$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi (\mathbf{r},t)=\hat{H}\psi (\mathbf{r},t).$$

对处在势场 $V(\mathbf{r})$ 中的粒子，

$$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2+V(\mathbf{r}).$$

若势能不显含时间，可令

$$\psi (\mathbf{r},t)=\varphi (\mathbf{r})e^{-iEt/\hslash },$$

得到定态 Schrodinger 方程：

$$\hat{H}\varphi (\mathbf{r})=E\varphi (\mathbf{r}).$$

这就是能量本征值问题。边界条件和归一化条件决定哪些 $E$ 是允许的。

3. 概率流与连续性方程

Schrodinger 方程蕴含概率守恒。概率密度

$$\rho =|\psi {|}^2$$

和概率流密度

$$\mathbf{j}=\frac{\hslash }{2mi}\left({\psi }^{\ast }\nabla \psi -\psi \nabla {\psi }^{\ast }\right)$$

满足连续性方程：

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{j}=0.$$

这说明概率不会凭空产生或消失，只会在空间中流动。

4. 力学量与算符

量子力学中，可观测力学量由厄米算符表示：

$${\hat{A}}^{†}=\hat{A}.$$

厄米算符的本征值为实数，这与测量结果必须为实数相符。若

$$\hat{A}{u}_n=a_n{u}_n,$$

则 $a_n$ 是测量 $A$ 可能得到的值。若系统处于归一化态 $\psi$，平均值为

$$⟨A⟩=\int {\psi }^{\ast }(\mathbf{r})\hat{A}\psi (\mathbf{r}){\mathrm{d}}^{3}r.$$

坐标和动量算符满足基本对易关系：

$$[\hat{x},{\hat{p}}_x]=i\hslash .$$

由此可以推出不确定性关系：

$$\Delta x\Delta p_x\ge \frac{\hslash }{2}.$$

5. 表象

同一个量子态可以用不同变量表示。在坐标表象中，态写作 $\psi (x)$；在动量表象中，态写作 $\varphi (p)$。二者通过 Fourier 变换联系：

$$\varphi (p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}{\int }_{-\infty }^{\infty }\psi (x)e^{-ipx/\hslash }\mathrm{d}x.$$

反变换为

$$\psi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}{\int }_{-\infty }^{\infty }\varphi (p)e^{ipx/\hslash }\mathrm{d}p.$$

表象变换不改变物理状态，只改变描述方式。它类似线性代数中同一向量在不同基底下的坐标表示。

6. 中心力场与角动量

对中心势 $V(r)$，Hamilton 量与角动量平方 ${\hat{L}}^2$、角动量 $z$ 分量 ${\hat{L}}_z$ 对易，因此可选共同本征函数。角向部分由球谐函数给出：

$${\hat{L}}^2{Y}_l^m(\theta ,\varphi )={\hslash }^{2}l(l+1)Y_l^m(\theta ,\varphi ),$$$${\hat{L}}_z{Y}_l^m(\theta ,\varphi )=\hslash m{Y}_l^m(\theta ,\varphi ).$$

量子数满足

$$l=0,1,2,\cdots ,m=-l,-l+1,\cdots ,l.$$

通常称 $l=0,1,2,3$ 的态分别为 $s,p,d,f$ 态。

7. 氢原子

氢原子是 Coulomb 中心势中的两体问题。引入质心坐标和相对坐标后，两体问题可化为约化质量为

$$\mu =\frac{m_{e}M}{m_e+M}$$

的单体问题。势能为

$$V(r)=-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}.$$

能级为

$$E_n=-\frac{\mu e^4}{2(4\pi {\epsilon }_0{)}^2{\hslash }^2}\frac{1}{n^2},n=1,2,\cdots .$$

能级只依赖主量子数 $n$，这是 Coulomb 势特殊对称性的结果。氢原子态还需用 $l,m$ 区分角动量结构。

8. Dirac 符号

Dirac 符号把量子态写成抽象向量。ket 写为

$$|\psi ⟩,$$

其共轭向量 bra 写为

$$⟨\psi |.$$

内积写作

$$⟨\varphi |\psi ⟩.$$

在坐标表象中，波函数是态在坐标本征态上的投影：

$$\psi (x)=⟨x|\psi ⟩.$$

完备性关系为

$$\int |x⟩⟨x|\mathrm{d}x=\hat{I}.$$

它表示任意态都可以在坐标本征态基底上展开。

9. 线性谐振子

一维线性谐振子的 Hamilton 量为

$$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{\hat{x}}^2.$$

引入湮灭算符和产生算符

$$\hat{a}=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}\hat{x}+\frac{i}{\sqrt{2m\hslash \omega }}\hat{p},$$$${\hat{a}}^{†}=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}\hat{x}-\frac{i}{\sqrt{2m\hslash \omega }}\hat{p}.$$

它们满足

$$[\hat{a},{\hat{a}}^{†}]=1.$$

Hamilton 量可写成

$$\hat{H}=\hslash \omega \left({\hat{a}}^{†}\hat{a}+\frac{1}{2}\right).$$

因此能级为

$$E_n=\hslash \omega \left(n+\frac{1}{2}\right),n=0,1,2,\cdots .$$

最低能量不是零，而是 $\hslash \omega /2$，称为零点能。

10. 学习抓手

• 看到测量，先找对应算符和本征态。
• 看到定态，先写 Hamilton 本征值方程。
• 看到中心势，优先分离径向和角向部分。
• 看到不同表象，记住物理态不变，只是基底变化。
• 看到谐振子，优先考虑产生湮灭算符。

11. 复习问题

• 为什么波函数整体相位不影响物理状态？
• 厄米算符为什么适合表示可观测量？
• 坐标表象和动量表象怎样互相转换？
• 氢原子能级为什么离散？
• 线性谐振子的零点能体现了什么量子特征？

12. 复习提纲

这门课的复习提纲已经并入正文。最值得按主线回看的内容是：

波函数与 Born 解释 -> Schrödinger 方程 -> 测量与本征态 -> 对易关系与不确定性 -> 角动量与氢原子 -> Dirac 符号与表象 -> 微扰与变分 -> 自旋与全同性

做题时先判断题目属于“定态求解、测量展开、表象变换、中心势、近似方法”中的哪一类，再选对应语言。量子力学最怕把不同框架混用，比如拿微扰公式去做变分问题，或者没先展开到本征态基底就直接谈测量概率。